如何證明這個過程是“正態分佈的”？
假設我們有以下 SDE (Vasicek)：
$$ dr(t) =(b-ar_t) dt + \sigma dW_t $$ 我能夠達到這個 SDE 的整體形式：
$$ r(t) = r(0) e^{-at} + \frac{b}{a}[1 - e^{-at}] + \sigma e^{-at}\int_0^t e^{as}dW_s $$ 從這裡，我想得出結論 $ r(t) $ 是高斯的，但我不知道如何進行。
我以某種方式理解
$$ E[r(t)] = r(0) e^{-at} + \frac{b}{a}[1 - e^{-at}] $$ 然後
$$ Var[r(t)]= \sigma e^{-at}\int_0^t e^{as} dW_s $$
首先，注意
$$ \mathbb{E^Q}\left[\int_0^t e^{-a(t-s)}dW_s\right]=0 $$ 和 $$ \mathbb{Var^Q}\left[\int_0^t e^{-a(t-s)}dW_s\right]=\mathbb{E^Q}\left[\int_{0}^{t} e^{-2a(t-s)}ds\right]=\frac{1}{2a}(1-e^{-2at}) $$ 所以 $$ \mathbb{E^Q}[r_t]=r_0 e^{-at} + \frac{b}{a}(1 - e^{-at}) $$ $$ \mathbb{Var^Q}(r_t)=\frac{\sigma^2}{2a}(1-e^{-2at}) $$ 第二 Itô 積分可以用類似於 Riemann-Stieltjes 積分的方式定義，即作為黎曼和機率的極限；這樣的限制不一定存在路徑。假設 $ W_t $ 是一個維納過程，並且 $ X_t $ 是一個右連續（cadlag）、自適應和局部有界過程，如果 $ I={t_0,t_1,\cdots,t_n} $ 是一個分區序列 $ [0,t] $ 網格變為零，然後是 Itô 積分 $ X_t $ 關於 $ W_t $ 直到時間 t 是一個隨機變數
$$ \int_{0}^{t}X_sdW_s=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},\sum\limits_{i=1}^{n}{X({{t}{i-1}})(W({{t}{i}})-W({{t}_{i-1}})}) $$ 放 $ X_s=e^{as} $ , $ X_s $ 因此是確定性函式 $$ \int_0^t e^{-a(t-s)}dW_s\sim N\left(0\quad,\quad\frac{1}{2a}(1-e^{-2at})\right) $$