如何解決一鍵美式通話
我想解決一鍵式美國電話 $ t = 0 $ 有水平 $ B, $ 到期 $ T $ 在以下假設下：
$$ d S= rSd t + \sigma SdW,\quad S_0<B. $$ 我們有以下公式： $$ V(S_0,0) = \left(\dfrac{B}{S_0}\right)^{2r/\sigma^2}N(d_2)+\dfrac{S}{B}N(d_1), $$ 我們在哪裡 $ d_1,d_2. $ **有沒有簡單的方法或參考來獲得上述公式？**我通過以下方式解決這個問題，但它非常複雜：
$$ S(t)=S_0\exp^{\sigma W(t)+(r-\dfrac{1}{2}\sigma^2)t}=S_0\exp^{\sigma \hat{w}(t)}, $$ 在哪裡 $ \hat{w}(t) = W(t) + \alpha t,\ \alpha = \dfrac{1}{\sigma}(r-\dfrac{1}{2}\sigma^2). $ 那麼第一次通過時間由下式給出
$$ \tau_m = \min{t\geq 0; W(t) = B}=\min{t\geq 0; \hat{w} = \hat{B}} $$ 我們有價值 $$ V(S_0,0) = E[e^{-r\tau_m}\textrm{II}{{\tau_m\leq T}}]. $$ 這裡， $ \textrm{II} $ 是指標函式。然後更改度量以使 $ \hat{W}(t) $ 是布朗運動： $$ \hat{E}[\dfrac{1}{\hat{Z(T)}}e^{-r\tau_m}\textrm{II}{{\tau_m\leq T}}] = E[e^{-r\tau_m}\textrm{II}_{{\tau_m\leq T}}] $$ 這裡， $ Z(T) = \exp(-\alpha W(t)-\dfrac{1}{2}\alpha^2) $ 是過渡函式。 我們知道第一次通過時間的聯合 CDF $ \tau_m $ 和 $ \hat{W}(t) $ 在下面 $ \hat{P} $ ，最後我們解決了這個二重積分。
通常情況下，這里至少有兩種解決方案策略。
- **（機率）*您在第一次通過時明確求解預期折扣因子 $ \nu $ 的 $ S $ 到水平 $ B $ 在風險中性機率測度下 $ \mathbb{P}^ $ ， IE
$$ \begin{equation} V_0 = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*} \left[ e^{-r \nu} \mathrm{1} \left{ \nu \leq T \right} \right], \end{equation} $$ 在哪裡 $ \nu $ 是第一次擊球時間 $ S $ 至 $ B $ . 2. **（微分方程）**期權價值 $ \tilde{V}(S, \tau) $ （作為到期時間的函式 $ \tau $ ) 滿足初始邊值問題
$$ \begin{eqnarray} \mathcal{L} \left{ \tilde{V} \right} & = & 0 \qquad \text{for } (S, \tau) : S < B, \tau \in (0, \infty),\ \tilde{V}(S, 0) & = & 0,\ \tilde{V}(B, \tau) & = & 1, \qquad \text{for } \tau \in [0, \infty), \end{eqnarray} $$ 在哪裡 $ \mathcal{L} $ 是 Black-Scholes 前向運算元。
您嘗試了第一種方法。但是請注意，您不需要第一次通過時間的聯合 CDF 和布朗運動的終值，因為收益不取決於後者。所以你只有一個積分要解決。有關所有詳細資訊，請參閱此部落格文章。
在這裡，我將概述第二種解決策略。讓 $ U(S) $ 是永久按時支付二元期權的估值函式。您可以在其他問題的答案中找到其估值函式的推導。我們現在註意到解決方案 $ \tilde{V}(S, \tau) $ 可以分解為
$$ \begin{equation} \tilde{V}(S, \tau) = U(S) - \tilde{V}^1(S, \tau), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \tilde{V}^1(S, \tau) $ 滿足初始邊值問題
$$ \begin{eqnarray} \mathcal{L} \left{ \tilde{V}^1 \right} \left( S, \tau^* \right) & = & 0 \qquad \text{for } \left( S, \tau^* \right) : S < B, \tau^* \in (0, \tau),\ \tilde{V}^1(S, 0) & = & U(S),\ \tilde{V}^1 \left( B, \tau^* \right) & = & 0 \qquad \text{for } \tau^* \in [0, \tau]. \end{eqnarray} $$ 即具有有限期限的按打擊支付二元期權的價值等於在其他方面相同的永久期權中的多頭頭寸加上在後者的敲除障礙期權中的空頭頭寸。這種方法的優點是你現在可以應用圖像的方法來解決輔助問題 $ \tilde{V}^1(S, \tau) $ . 見威爾莫特等人。(1995) 了解詳情。
參考
Wilmott、Paul、Sam Howison 和 Jeff Dewynne（1995 年）金融衍生品數學：劍橋大學出版社。