如何取隨機積分的微分？

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$$ X_t = \int^t_0\sigma e^{-k(t-s)}dW_s $$ 這裡 $ W_s $ 是布朗運動， $ k,\sigma $ 是常數。 我要計算 $ d X_t $ 和變異數 $ Var[X_t]. $ 我知道如何對帶參數的積分求導，但不知道如何處理這個隨機積分。

你可以重寫 $ X_t = e^{-kt}Z_t $ 並定義 $ Z_t:=\int_{0}^{t}e^{ks}dW_s $ . 有一個理論（如果你使用他的書，比約克的引理 4.15）指出

$$ \text{Var}\left[\int_{0}^{t}f(u)dW_s\right]=\int_{0}^{t}(f(u))^2ds $$ 你可以用那個。此外，您可以使用 Ito 來計算 $ dX_t $ . 根據標準隨機微積分理論，動力學 $ Z_t $ 是 $ dZ_t=e^{kt}dW_t $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/38616