如何使用股票作為計價器來為衍生品定價(小號噸F(小號噸))+(小號噸F(小號噸))+(S_T f(S_T))^+?
我有 $ \frac{dS_t}{S_t} = rdt + \sigma dW_t $ 像往常一樣在貨幣市場計價條件下，我需要為期權定價
$$ (S_T f(S_T))^+ $$ 如何使用股票作為計價來表達股票動態，以及如何獲得等效度量下的股票分佈。
讓 $ P $ 是風險中性的度量。我們定義度量 $ P_S $ 這樣
$$ \begin{align*} \frac{dP_S}{dP}\big|_t &=\frac{S_t}{e^{rt}S_0}\ &=e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t+\sigma W_t}. \end{align*} $$ 然後 $ {\widehat{W}_t \mid t \ge 0} $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} \widehat{W}_t = W_t -\sigma t, \end{align*} $$ 是度量下的標準布朗運動 $ P_S $ . 此外，根據 $ P_S $ , $$ \begin{align*} \frac{dS}{S} &= rdt + \sigma dW_t\ &=\big(r+\sigma^2\big)dt + \sigma d \widehat{W}_t. \end{align*} $$ 即股票價格過程 $ S $ 仍然是對數正常的。期權價格由下式給出 $$ \begin{align*} e^{-rT}E\Big(\big(S_Tf(S_T) \big)^+\Big) &= e^{-rT}E_S\bigg(\Big(\frac{dP_S}{dP}\big|_T\Big)^{-1}\big(S_Tf(S_T) \big)^+\bigg)\ &=S_0E_S\left(\big(f(S_T) \big)^+\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ E $ 和 $ E_S $ 分別是度量下的期望運算元 $ P $ 和 $ P_S $ .
讓 $ \text{d}S_t = \mu S_t \text{d}t +\sigma S_t\text{d}W_t $ . 在現實世界的測量下
和 $ S_t $ 是計價的，那麼 $ e^{rt}/S_t $ 必須是等效鞅測度下的鞅。
在現實世界的測量下， $ \frac{e^{rt}}{S_t}= \exp(rt -\mu t-\sigma W_t+\frac{1}{2}\sigma^2t) $ ， 在哪裡 $ W_t $ 是該度量下的布朗運動。
現在你需要做一個 Cameron-Martin-Girsanov 變換來製作 $ \frac{e^{rt}}{S_t} $ 馬提尼酒。這個必要的歸結為 $ r-\mu+\frac{1}{2}\sigma^2 = -\frac{1}{2}\sigma^2 $ ， 或者 $ \mu = r+\sigma^2 $ .
所以在風險中性度量下 $ S_t $ 以計價方式， $ S_t=S_0\exp(r+\sigma^2t-\frac{1}{2}\sigma B_t) $ ， 在哪裡 $ B_t $ 是風險中性測度下的布朗運動。找時間 $ t<T $ 價值 $ V_t $ 有償資產 $ S_TF(S_T) $ ， 然後
$ \frac{V_t}{S_t} = \mathbb E[\frac{S_TF(S_T)}{S_T}|\mathcal{F}_t]=E[F(S_T)|\mathcal{F}_t] $
請注意，例如，如果 $ F(\cdot) = (K-\cdot)^+ $ ，您仍然可以使用 Black-Scholes 公式，儘管您需要找出適當的參數並且可能需要乘以一個因子。本質上，這是因為 $ S_t $ 仍然是對數正態分佈。