布朗運動對時間的積分
讓
[數學處理錯誤] 其中[Ws數學處理誤差]是我們通常的布朗運動。我的問題如下： $ W_s $
- 期待？
- 變異數？
- 是鞅嗎？
- 是伊藤過程還是黎曼積分？
練習這樣的棘手問題的任何參考？
對於期望，我通過 Fubini 知道它為零。我們可以把期望放在積分裡面。現在，對於變異數和鞅問題，我們有什麼技巧嗎？謝謝！
這種積分在很多地方出現過很多次；例如，這裡、這里和這裡。基本上，對於每個樣本[ω數學處理錯誤]，我們可以處理 $ \omega $ $ \int_0^t W_s ds $ 作為黎曼積分。此外，請注意
[數學處理錯誤] 所以， [數學處理錯誤]$$ \begin{align*} \int_0^t W_s ds &= tW_t -\int_0^t sdW_s \tag{1}\ &= \int_0^t (t-s)dW_s, \end{align*} $$ 它也可以被視為（參數化的）Ito 積分。那麼，不難看出 [數學處理錯誤]$$ \begin{align*} E\left(\int_0^t W_s ds\right) = 0, \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} Var\left(\int_0^t W_s ds\right) &= \int_0^t(t-s)^2 ds\ &=\frac{1}{3}t^3. \end{align*} $$ 關於Martingality，請注意，從 $ (1) $ ,
[數學處理錯誤] 為了 $ t_2>t_1\ge 0 $ . 所以， [數學處理錯誤]$$ \begin{align*} E\left(\int_0^{t_2} W_s ds\mid \mathscr{F}{t_1} \right) &= \int_0^{t_1} W_s ds + (t_2-t_1) W{t_1}. \end{align*} $$ 它不是鞅。另一種看待這一點的方法是基於等式 [數學處理錯誤]$$ \begin{align*} d\left(\int_0^t W_s ds\right) = W_t dt, \end{align*} $$ 這不是一成不變的。
編輯：
馬丁性的另一種方法可以如下進行。為了 $ t_2>t_1 >0 $ ,
[數學處理錯誤]
放並應用伊藤引理，
換一種說法
所以 [Math Processing Error] 所以 [數學處理錯誤] 確實
所以，我們可以說是隨時間變化率的正常隨機時間變化. 現在設置
我們有
首先我們考慮 [Math Processing Error] 維納過程有獨立的增量，那麼 [Math Processing Error] 另一方面 [數學處理錯誤] ,和 [數學處理錯誤] 和 [數學處理錯誤] [數學處理錯誤] 因此不是鞅。