布朗運動對時間的積分和不從零開始的積分
我是隨機微積分的新手，並嘗試計算（ 1）均值和**（2）變異數**$$ \int_s^t W_u du $$ 在哪裡 $ W_u $ 是布朗運動。我已經找到了這個有用的答案，其中表明 $ \int_0^t W_u du \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{3}t^3) $ 使用相同的邏輯我可以證明 $$ \int_s^t W_u du = \int_s^t (t-u) dW_u $$我可以按照那個 $$ \mathbb{E}\biggl[\int_s^t W_u du \biggl] = \mathbb{E}\biggl[\int_s^t (t-u) dW_u \biggl] = 0 \text{ ?} $$ 如果平均值為零 $$ Var\biggl[\int_s^t W_u du \biggl] = Var\biggl[\int_s^t (t-u) dW_u \biggl] = \mathbb{E}\biggl[\biggl(\int_s^t (t-u) dW_u \biggl)^2\biggl] = \mathbb{E}\biggl[\int_s^t (t-u)^2 du \biggl] \text{ ?} $$ 如果是這樣，為什麼這是真的？
提前謝謝了！
如果 $ s>0 $ , 積分從 $ u=s $ , 那麼積分只有在我們以我們所知道的時間為條件時才有意義 $ s $ : 我們可以寫 $ W(s)=k $ ， 在哪裡 $ k $ 是某個時間已知的常數 $ s $ ，即布朗運動的值 $ W_u $ 當時知道 $ u=s $ （可以為零，但不一定是）。
然後，我們有：
$$ \mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}W_udu|\mathcal{F}s\right]=\int{u=s}^{u=t}\mathbb{E}[W_u|\mathcal{F}_s]du=k(t-s) $$
多於， $ \mathcal{F}_s $ 是時間的 sigma 代數 $ s $ ，即“時間已知的資訊 $ s $ ”。
可以使用您正確說明的Ito Isometry計算變異數。
對於任何適應的過程 $ X_t $ , Ito Isometry 指出：
$$ \mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}X_udW_u\right]^2=\int_{u=s}^{u=t}\mathbb{E}[X_u^2]du $$
如果您需要 Ito 等距的證明，只需將第一原理中的 Ito 積分寫成布朗增量之和並使用 Ito 引理。如果您需要證明，請告訴我。
所以基本上變異數將是：
$$ Var\left(\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right)=\mathbb{E}\left[\left(\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right)^2\right]-\mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right]^2=\=\int_{u=s}^{u=t}(t-u)^2du-(k(t-s))^2 $$