布朗運動對時間的積分：這個解決方案有什麼問題？

我的問題是關於布朗運動 wrt time 的隨機積分。

讓 $ W(t) $ 維納過程（或布朗運動）。我想計算這個： $$ \begin{eqnarray} X(t)=\int_{0}^t dt’ W(t’). \end{eqnarray} $$ 我的策略：

1. 伊藤公式： $$ \begin{eqnarray} d(tW(t))=tdW(t)+W(t)dt \implies W(t)dt=d(tW(t))-tdW(t). \end{eqnarray} $$ 2）整合： $$ \begin{eqnarray} X(t)=\int_{0}^t dt’W(t’)=\int_0^t d(t’W(t’))+\int_{0}^tdW(t’)t’=tW(t)-\frac{t}{\sqrt{3}}W(t)=\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)tW(t). \end{eqnarray} $$ 我用了： $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^t dW(t’)f(t’)=\left(\frac{1}{t}\int_{0}^t dt’|f(t’)|^2\right)^{1/2}W(t)\implies \int_0^t dW(t’)t’=\frac{t}{\sqrt{3}}W(t), \end{eqnarray} $$ 因為… $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^t dW(t’)f(t’)\sim \mathcal{N}\left(0,\int_0^t dt’|f(t’)|^2\right), \hspace{0.5cm} W(t)\sim \mathcal{N}(0,t). \end{eqnarray} $$

問題是： $$ \begin{eqnarray} \sigma^2_X=\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 t^3 \end{eqnarray} $$ 但正確的是： $$ \begin{eqnarray} \sigma^2_X=\frac{t^3}{3} \end{eqnarray} $$ 有頭腦的人能告訴我錯誤在哪裡嗎？

如果有任何步驟不清楚，請告訴我。

重新評論你的第二個問題，為什麼你的轉換會導致不同的結果，這是因為轉換沒有考慮這兩個術語之間的共變異數。正如你在下面看到的，共變異數被扭曲了；

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/41860