Hull-White SDE 中的集成
我一直在解決赫爾懷特利率模型中的 SDE。我沒有完整的數學背景（在我幸福的本科期間只有實分析），所以我無法理解明確解決赫爾-懷特 SDE 的集成過程。
因此，Hull-White 興趣模型遵循 SDE
$$ dR(u) = (a(u) - b(u) R(u)) du + \sigma(u) d\tilde{W}(u) $$ 它說可以通過應用伊藤引理來獲得顯式解決方案 $$ e^{\int_0^u b(v) dv} R(u) $$ 並整合雙方。 這是我難以理解的地方。
$$ \int_t^T d\left(e^{\int_0^u b(v) dv} R(u)\right) = e^{\int_0^T b(v) dv} R(T) - e^{\int_0^t b(v) dv} R(t) $$ 似乎我們在天真地替換 $ u $ 和 $ T $ 在第一學期和 $ t $ 在第二個任期。由於微積分的基本定理，我們可以簡單地做到這一點嗎？還是在幕後有其他一些工作機制？
將伊藤引理應用於
$$ Y_t := e^{\int_0^t b(v) dv} r_t $$ 你得到
$$ \begin{align} dY_t &= b(t) e^{\int_0^t b(v) dv} r_t dt + e^{\int_0^t b(v) dv} dr_t + 0\ &= e^{\int_0^t b(v) dv} (b(t) r_t dt + dr_t) \ &= e^{\int_0^t b(v) dv} (a(t) dt + \sigma(t) dW_t) \end{align} $$ 最後一行是通過使用以下事實獲得的 $$ dr_t = (a(t)-b(t)r_t) dt + \sigma(t) dW_t $$ 您的問題是關於 LHS 的集成，它只是由
$$ \begin{align} \int_t^T dY_u &= Y_T - Y_t \ &= e^{\int_0^T b(v) dv} r_T - e^{\int_0^t b(v) dv} r_t \end{align} $$ 對於 RHS，你得到
$$ \int_t^T e^{\int_0^u b(v) dv} (a(u) du + \sigma(u) dW_u) = \int_t^T a(u) e^{\int_0^u b(v) dv} du + \int_t^T \sigma(u) e^{\int_0^u b(v) dv} dW_u $$ 你不能真正簡化更多。 要獲得原始方程的解，請從這裡開始使用以下事實：
$$ r_t := e^{-\int_0^t b(v) dv} Y_t $$
$$ Remark $$
$$ \int_0^t dY_u = (Y_t - Y_0) $$ 僅僅是我們如何定義隨機積分開始的結果（無論是 Ito 還是 Stratonovich）。假設 Itô 形式主義，對於一個表現良好的被積函式 $ \psi_t $ 和一個半鞅 $ X_t $ ，隨機積分寫為
$$ I_t := \int_0^t \psi_u dX_u = \lim_{\Vert P \Vert \rightarrow 0} \sum_{i=1}^N \psi_{t_{i-1}} (X_{t_i}-X_{t_{i-1}}) $$ 其中限制（當它存在時）取均方意義，作為分區 $ P = { 0=t_0 < \dots < t_N=t } $ 越來越細化（最大間隔 $ t_{i}-t_{i-1} $ 趨向於 0)。 在您的特定情況下，只需更換 $ \psi_t $ 經過 $ 1 $ 看到：
$$ I_t = \int_0^t dX_u = \lim_{\Vert P \Vert \rightarrow 0} \sum_{i=1}^N X_{t_i}-X_{t_{i-1}} = X_t - X_0 $$ 由於伸縮和，就像在普通微積分中一樣。