維納過程是可測量的嗎？（來自比約克的練習）
我會主張
$$ E[W(T) \vert F_t] = 0 $$為了 $ t<T $ . 無論如何，在 Bjork 的練習中，結果要求$$ E[W(t) \vert F_t] = 0 $$但為什麼？不是嗎 $ W(t) $ 可測量的時間 $ t $ 因此不一定 $ 0 $ ? $ W $ 當然是維納過程。 更準確地說：
$$ F(t,x)=E[2*\ln(x) \vert F_t], $$ $$ X(T)=\exp \left {\ln(X(t)) + c(T-t)+\sigma[W(T)-W(t)] \right } $$在哪裡 $ c $ 是恆定的並且 $ X(t)=x_t $ . 那麼結果就是 $$ F(t,x)=2\ln x_t + 2c(T-t) $$ 這只能是真的，如果 $ E[W(t) \vert F_t] = 0 $ . 這是為什麼？ 我說的是Bjork 中的練習 5.9，套利理論連續時間金融，結果在第 8 頁http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/fmsn25masm24/ht11/Bjork_sol.pdf
我認為你混淆了幾件事。我會盡力幫助你。
一切都始於你聲稱 $ \Bbb E \bigl[W(T) \mid \mathcal F_t \bigr] = 0 $ 這是錯誤的！
如果 $ W $ 是布朗概念，那麼
$$ \Bbb E \bigl[W(T) \mid \mathcal F_t \bigr] = W(t), \quad t\leq T. $$ 這是因為布朗運動是鞅的事實。在這里和接下來的所有內容中，我假設 $ \mathcal F $ 是過濾使得 $ W $ 適應 $ \mathcal F $ . 這就把我們帶到了第二個問題。
$$ \Bbb E \bigl[W(t) \mid \mathcal F_t \bigr] = W_t, $$ 這只是我的第一個方程的一個特例。或者，您也可以爭辯說 $ W(t) $ 是 $ \mathcal F_t $ 可衡量的。 下一個較小的問題是函式的定義 $ F $ . 你的定義 $ F $ 和 pdf 文件中的定義不同。在pdf文件中，我們有
$$ F(t,x) = \Bbb E ^{t,x} \Bigl[2 \ln \bigl(X(T)\bigr) \Bigr] = \Bbb E\Bigl[2 \ln \bigl(X(T)\bigr) \mid X(t) = x\Bigr]. $$ 你的定義 $ F(t,x) $ 將簡化為 $ F(t,x) = 2 \ln(x) $ .
最後但並非最不重要的一點是，我將證明 $ F(t,x) = 2 \ln (x) + 2(\mu - \frac 12\sigma^2) (T-t) $ .
因此，請注意
$$ \ln (X(T)) = x + (\mu - \frac 12\sigma^2) (T-t) + \sigma(W(T)-W(t)), $$ 所以它仍然表明 $$ \Bbb E^{t,x} \Bigl[W(T) - W(t) \Bigr] = 0. $$ 但這（幾乎）來自我的第一個和第二個等式。