一階隨機優勢在測度變化下是否守恆？
正如標題所述，我的問題是一階隨機優勢在度量變化下是否守恆，例如從 $ \mathbb{P} $ 測量到 $ \mathbb{Q} $ 衡量和改變計價到另一個衡量標准說 $ \mathbb{Q}_N $ ?
我不是機率論者，但我相信它是守恆的，因為度量和/或計價的變化涉及乘以指數鞅，這是一個積極的過程，但如果有人能給出一個正式的證明來說明它為什麼是或不是不變的在改變措施下，那將是很棒的。
考慮一個獨立投擲 10 次的硬幣。假設下的措施 $ P $ , $ Pr(H) $ > 0.5 但不等於 1。
讓風險中立的人被迭代地給定至少獲得之間的博弈 $ n $ 頭與至少 $ n $ 尾巴。顯然，這個人總是選擇至少得到 $ n $ 頭。讓 $ X $ 表示頭數和 $ Y $ 尾巴的數量。因此我們有
$ E(1_{X>=n})>E(1_{Y>=n}) $ 對所有人 $ n $ ， 因此 $ X $ FOSD $ Y $ 在這個機率測度下。
現在更改為一個度量，其中 $ Pr’(H)< 0.5 $ 但不等於 0。通過保留獨立性假設來指定事件機率。這等效於前面的度量，因為在前者中具有 0 或 1 機率的所有事件集在後者中保留相同的機率。
現在考慮給同一個人的相同賭博。現在，標誌被翻轉了！ $ E’(1_{X>=n})<E’(1_{Y>=n}) $ 對所有人 $ n $ ，所以現在 $ Y $ FOSD $ X $ . 所以斷言是錯誤的。
它何時保留 FOSD？看看下面的一些特殊情況：
- 如果 RV 的最小值為 $ X $ 超過最大值 $ Y $ ，那麼在任何測度變化下都將保持隨機優勢，因為 $ Pr(w: X(w)>X_{min})=0 $ 和 $ Pr(w:Y(w)<Y_{max})=1 $ 在任何等效度量下，因此分佈再次不相交。
- 對於離散的 RV $ X $ 和 $ Y $ ，違反 FOSD 秩序的充分條件是改變秩序的手段。這是因為平均值可以寫成所有的總和 $ u $ ， 的 $ Pr(X>=u) $ .
- 為了不違反 FOSD，Radon-Nikodym 導數 (RND) 會是什麼樣子？
通過使用 RND 進行簡單的測量更改 $ Z $ ,
$ E’(1_{X>=u})=E(1_{X>=u})+cov(Z,1_{X>=u}) $
和
$ E’(1_{Y>=u})=E(1_{Y>=u})+cov(Z,1_{Y>=u}) $
因此就足夠了： $ cov(Z,1_{X>=u})>cov(Z,1_{Y>=u}) $ 對所有人 $ u $ . 直覺上， $ Z $ 有更多 $ X $ 在裡面比 $ Y $ ， 或者 $ X $ 是更好的預測器 $ Z $ 比 $ Y $ . Z 獨立於 X 和 Y 也足夠了。