布朗運動乘法規則是定義還是定理？
布朗運動乘法規則是定義還是定理？
請參閱http://i.stack.imgur.com/doQuT.png的突出顯示部分，其中 $ dw_1(t)dw_1(t)=dt $
這是一個引理！伊藤引理給出了隨機微積分座標變化規律。乘法規則是表達它的一種簡寫方式。
形式上，這是二次變化的簡寫。對於更基本的定義， $ \langle W, W\rangle $ 是一個過程，使得 $ W^2-\langle W, W\rangle $ 是鞅。而且， $ \langle W, W\rangle_t $ 是變化的機率極限
$$ \begin{align*} \sum_{i=1}^n|W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}|^2, \end{align*} $$ 在分區上 $$ \begin{align*} 0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t. \end{align*} $$ 根據標準布朗運動的性質，可以證明上述極限等於 $ t $ . 那是， $ \langle W, W\rangle_t = t $ . 一般來說，如果 $ X_t = \int_0^t \xi_s dW_s $ 和 $ Y_t = \int_0^t \eta_s dW_s $ ， 然後
$$ \begin{align*} \langle X, Y \rangle_t &= \int_0^t \xi_s \eta_s ds, \end{align*} $$ 我們也寫成 $$ \begin{align*} \langle dX_t, dY_t\rangle = \xi_t\eta_tdt. \end{align*} $$ 為了 $ \xi_t=\eta_t = 1 $ ，然後我們有 $$ \begin{align*} \langle dW_t, dW_t\rangle = dt, \end{align*} $$ 這通常寫為 $ dW_t dW_t = dt $ .