這個微積分問題
給定 $ S^1 $ 滿足 SDE $ \quad dS_{t}^{1}=S_{t}^{1}((r+\mu)dt + \sigma dW_t), \quad S_{0}^{1}=1 $
和安全資產 $ S_{t}^{0} $ $ \quad S_{t}^{0}:=e^{rt} \quad for \quad r\geq 0 $
Q1。
如何證明 $ \quad Y_t:=log(S_{t}^{1}) $
滿足 $ \quad dY_t=(r+\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma d W_t \quad Y=0 $ ,Q2。
如何找到等效於 P 的測度 Q（使用 Girsanov 定理）使得
$ dS_{t}^{1}=S_{t}^{1}(rt+\sigma d W_{t}^{*}) $
我嘗試了第一部分，推導是否正確？
$ \frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}}=(r+\mu)dt+\sigma dW_t $
$ dY=d log(S_{t}^{1}) $
通過伊藤
$ d log(S_{t}^{1})=\ \frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{(S_{t}^{1})^2})(d S_{t}^{1})^2)= $ $ =\ \frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}} + (- \frac{1}{2} \frac{(\sigma S_{t}^{1})^2)dt}{(S_{t}^{1})^2 }) = (r+\mu)dt + \sigma dW_t + (- \frac{1}{2} \sigma^2 dt) =(r+\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma dW_t $
我正在努力改變衡量標準，有人可以幫忙解釋一下這個想法和下一步嗎？
對於一個時間間隔 $ [0,T] $ , Girsanov 定理指出給定一個過程 $ \lambda $ 這樣的過程 $ U $ ， 被定義為
$$ dU_t = -\lambda_tU_tdW_t, ; U_0=1, $$ 是一個 $ P $ -martingale，然後可以定義一個新的度量 $ Q $ 相當於 $ P $ 經過 $$ \frac{dQ}{dP} = U_T, $$ 和一個標準的布朗運動 $ Q $ , $ W^\star $ ， 經過 $$ dW^\star_t = dW_t + \lambda_tdt. $$ 在你的情況下，如果我們採取 $$ \lambda_t = \mu/\sigma ; \forall t \in [0,T], $$ 然後 $ U $ 確實是 $ P $ -馬丁格爾（無漂移）和 $ W^\star $ 被定義為 $$ dW^\star_t = dW_t + \mu/\sigma dt $$ 是標準布朗運動下 $ Q $ . 我們現在可以重寫 $ S^1 $ 如下（無伊藤）：
$$ dS^1_t = (r+\mu)S^1_tdt + \sigma S_t^1 dW_t $$ $$ = rS^1_tdt + \sigma S^1_tdW^\star_t. $$ 最後，請注意 $ Q $ 是一個有趣的度量，即所謂的 EMM（等效鞅度量）與 numeraire $ S^0 $ , 因為它等價於 $ P $ 和 $ S^1/S^0 $ （癟 $ S^1 $ ) 是一個 $ Q $ -鞅。事實上，使用 Ito-Leibniz，我們看到 $ S^1/S^0 $ 沒有漂移 $ Q $ :
$$ d(S^1_t/S^0_t) = \sigma S^1_t/S^0_t dW^\star_t. $$
對於Q2，讓 $ \lambda = \mu/\sigma $ . 此外，我們定義了度量 $ Q $ 在 $ (\Omega, \mathcal{F}) $ 這樣
$$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_{\mathcal{F}_t} = \exp\Big(-\frac{1}{2}\lambda^2 t - \lambda W_t\Big), \mbox{ for } t \ge 0. \end{align*} $$ 然後，由 Girsanov 定理， $ W^* $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} W_t^* = \lambda t + W_t, \end{align*} $$ 是度量下的標準布朗運動 $ Q $ . 此外，根據 $ Q $ , $$ \begin{align*} dS_t^1 &= S_t^1\big[(r+\mu)dt + \sigma dW_t \big]\ &= S_t^1(rdt + \sigma dW_t^). \end{align} $$