伊藤引理，用布朗運動對積分進行微分
在這些 SDE 是如何得出的？我不明白戈登回答的一部分，特別是：
$$ \ln S_t=\ln F_{0,t}-\frac{\sigma^2}{4\lambda}(1-e^{-2\lambda t})+\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s $$ [Math Processing Error]$$ d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t $$ 我的問題是，如何從第一行到第二行。顯然，應用了伊藤引理，但它以我從未遇到過的方式使用。似乎與布朗運動項的積分被視為常數，但我不明白當有[Math Processing Error] $ t $ 在上限。
任何幫助表示讚賞。
編輯：我想出了一個解決方案，只要以下內容有效。有人可以確認嗎？第一行使用乘積規則。
[Math Processing Error]$$ \begin{align} d\bigg(\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{-\lambda s}dB_s\bigg)&=d(\sigma e^{-\lambda t})\int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma e^{-\lambda t}d\bigg(\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)\ &=-\lambda\sigma e^{-\lambda t}dt \int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma e^{-\lambda t}e^{\lambda t}dB_t\ &=-\lambda\sigma e^{-\lambda t}dt \int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma dB_t \end{align} $$
您對產品規則的使用是正確的。
自從 $ \sigma e^{-\lambda t} $ 是一個有限變化的過程，你沒有鉤針術語，這是標準的產品規則。
在您的第二行中，有一個額外的[Math Processing Error] $ t $ （我認為這是一個錯字）
$$ \ln S_t=\ln F_{0,t}-\frac{\sigma^2}{4\lambda}(1-e^{-2\lambda t})+\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s $$ [Math Processing Error]$$ d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \color{red}{t}\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t $$ 正確的方程式是： [Math Processing Error]$$ d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t $$