Libor 市場模型：計價變化
我目前正在研究 Libor 遠期市場模型，雖然我了解了主要論點背後的機制，但我仍然無法直覺地了解改變計價方式以獲得所需動態背後的確切目標是什麼。
為什麼我們需要這樣做才能使遠期匯率的動態變得有意義？或者，如果我們換個角度說：如果這種計價變化不會“存在”，那麼在這個模型中我們不能實現什麼？
編輯：我更改了答案以使其更符合主題。
概括
歸結為Mark Joshi的回答。我想添加更多內容。
回答
機率測度 $ Q1 $ 和一個計價器 $ N1(t) $ 如果所有價格表示相對於 $ N1 $ 是鞅 $ Q1 $ :
$$ \frac{price(t)}{N1(t)} = \mathbb{E}^{Q1} \left[ \left. \frac{price(T)}{N1(T)} , \right| , F_t\right] \quad \Rightarrow \quad price(t) = \mathbb{E}^{Q1} \left[ \left. \frac{N1(t) \cdot price(T)}{N1(T)} , \right| , F_t \right] $$ 有另一個機率測度 $ Q2 $ 有相關的計價單位 $ N2(t) $ ，那麼您可以更改計價器：
$$ \begin{array}{ccl} price(t) & = & \mathbb{E}^{Q1} \left[ \left. \frac{N1(t) \cdot price(T)}{N1(T)} , \right| , F_t \right] = N1(t) \cdot \mathbb{E}^{Q1} \left[ \left. \frac{price(T)}{N1(T)} , \right| , F_t \right] \ & = & \mathbb{E}^{Q2} \left[ \left. \frac{N2(t) \cdot price(T)}{N2(T)} , \right| , F_t \right] = N2(t) \cdot \mathbb{E}^{Q2} \left[ \left. \frac{price(T)}{N2(T)} , \right| , F_t \right] \end{array} $$ 給定的時間資訊 $ t $ ，您可以同時取出兩個計價器，因為它們是已知的。
如果你設置
- $ Q1 $ 等於風險中性機率測度 $ QRN $ 和 $ N1(t) $ 等於無風險資產，即 $ N1(t) = B(t) = e^{\int_0^t r(s) ds} $
- $ Q2 $ 等於 T 前向機率測度 $ QT $ 和 $ N2(t) $ 等於到期的零息債券價格 $ T $ 計算於 $ t $ ， IE $ N2(t) = P(t,T) $
那麼你有以下內容：
$$ \begin{array}{ccl} price(t) & = & \mathbb{E}^{QRN} \left[ \left. \frac{B(t) \cdot price(T)}{B(T)} , \right| , F_t \right] = B(t) \cdot \mathbb{E}^{QRN} \left[ \left. \frac{price(T)}{B(T)} , \right| , F_t \right] \ & = & \mathbb{E}^{QT} \left[ \left. \frac{P(t, T) \cdot price(T)}{P(T, T)} , \right| , F_t \right] = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \left. \frac{price(T)}{P(T, T)} , \right| , F_t \right] \ \end{array} $$ 風險中性措施下的問題是 $ B(T) $ 和 $ price(T) $ 不是獨立的，尤其是對於利率衍生品。然而， $ P(T,T) $ 眾所周知：它只是 $ 1 $ .
$$ price(t) = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \left. \frac{price(T)}{P(T, T)} , \right| , F_t \right] = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \left. price(T) , \right| , F_t \right] $$ 因此，隨著 numeraire 的變化，您大大簡化了計算，這就是您所取得的成就。
一般來說，改變計價方式是有用的，主要有兩個原因（ $ X_t $ 是一個過程並且 $ N_t $ 是計價器）：
- $ X_t = \frac{tradable asset}{N_t} $ 是新測度下的鞅，即你無法直接證明 $ X_t $ 的martingality，但你可以在新的措施下使用新的計價器。
- $ \frac{X_t}{N_t} $ 成為一個非常容易計算的量；LIBOR 市場模型中的 T-forward 度量就是這種情況，因為在風險中性的世界中，貼現收益的預期變成了確定性貼現因子乘以今天的收益預期。
我補充說一個定理保證所有結果都是平等的：如果存在與計價器相關的機率測度並且在該測度下表達的所有資產都是鞅，那麼任何其他（交易）資產都可以用作計價器，並且任何計價器選擇將導致相同的價格。