將隨機 Fubini 定理應用於布朗運動時的積分極限

我正在查看來自 Quantuple 的下面的解決方案，這是一個很好、簡潔的解決方案，但我對第二行中積分的限制是如何來的感到困惑。有人可以詳細說明那部分嗎？

布朗運動對時間的積分

謝謝

你問的平等是

$$ \int_0^t \int_0^s \mathrm{d}W_u \mathrm{d}s = \int_0^t \int_u^t \mathrm{d}s \mathrm{d}W_u. $$

應用 Fubini 時，您需要確保您正在集成的域不會改變。在左側，兩者 $ s $ 取值 $ [0, t] $ 並且對於任何給定的 $ s $ , $ u \in [0, s] $ . 請參見下圖。

現在，當您顛倒積分順序時，您讓 $ u $ 從…來 $ [0, t] $ . 在同一區域內集成，對於任何給定的 $ u $ ，你需要讓 $ s \in [u, t] $ . 請參閱第二個圖，它基本上只是沿對角線鏡像的第一個圖。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43730