幾何布朗運動平方的對數
下面的兩個計算，哪個是錯誤的？ 為什麼？
$ dF = \sigma F dW $
第一的：
$ dF^2 = (F^2)’ dF + \frac{1}{2}(F^2)‘‘dF.dF $
$ dF^2 = 2F dF + dF.dF $
$ dF^2 = 2 \sigma F^2 dW + \sigma^2 F^2 dt $
$ \frac{dF^2}{F^2}=2\sigma dW + \sigma^2 dt $
$ d \ln F^2=2\sigma dW + \sigma^2 dt $
或者
第二：
$ d \ln F^2 = (\ln F^2)’ dF + \frac{1}{2}(\ln F^2)’’ dF.dF $
$ d \ln F^2 = \frac{2F}{F^2} dF + \frac{1}{2} (\frac{2F}{F^2})’ dF.dF $
$ d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF +\frac{1}{2} (\frac{2}{F})’ dF.dF $
$ d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF +\frac{1}{2} \frac{-2}{F^2} dF.dF $
$ d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF - \frac{1}{F^2} dF.dF $
$ d \ln F^2 = 2\sigma dW - \sigma^2 dt $
就上下文而言，我試圖了解 In-Aars Swap 定價的計算。因此，需要計算“遠期利率平方”的期望值。
這本書（布里戈水星）說 $ E(F(T)^2)=F(0)^2 e^{\sigma^2 T} $
我上面的計算（第二個）告訴我 $ E(F(T)^2)=F(0)^2 e^{-\sigma^2 T} $
我被卡住了，無法解釋之前的“-”號 $ \sigma^2 dt $ 我看到了。
參考：**Brigo 和 Mercurio “利率模型 - 理論與實踐”**第二版，第五部分，第 13 章，公式 13.3
第二種解是正確的，所以 t 處的解是：
$ F_t^2=F_0^2e^{2 \sigma W_t-\sigma^2t} $
現在將期望應用於雙方。
$ E\left[F_t^2\right]=F_0^2 , E\left[e^{2 \sigma W_t-\sigma^2t}\right] $
指數中的項就是高斯項，所以我們稱它為 X： $ X=2 \sigma W_t-\sigma^2t $
它的均值和變異數是：
$ E[X]=-\sigma^2t $
$ V[X]=4 \sigma^2t $
因此： $ E[X]+\frac{1}{2}V[X]=\sigma^2t $
因此： $ E\left[F_t^2\right]=F_0^2 , E\left[e^{X}\right] =F_0^2 e^{\sigma^2t} $
對於上面的均值和半變異數業務，請看這裡的討論：https ://math.stackexchange.com/questions/176196/calculate-the-expected-value-of-y-ex-where-x-sim- n-mu-sigma2