隨機微分方程的馬爾可夫性質
假設隨機方程：
$$ \begin{equation*} d X(u)=\beta(u,X(u))d u+\gamma(u,X(u))d W(u). \end{equation*} $$ 認為 $ X(T) $ 是上述具有初始條件的隨機微分方程的解 $ X(t)=x $ 和 $ h(x) $ 是 Borel 可測函式。表示為 $$ g(t,x)=E^{t,x}h(X(T)) $$ 我們猜測 $ E^{t,x}|h(X(T))|<\infty $ 讓 $ X(u) $ 是上面給定初始條件的隨機微分方程的解 $ 0. $
使用
markov property_ $ X(t), $ 我們有現有的 $ g(t,x) $ 英石$$ E[h(X(T))|\mathcal{F}(t)]=g(t,X(t)) $$ 我的問題是那兩個 $ g(t,x) $ 相同的？由於我們想使用
Feynman-Kac equation，但我不確定它是否是第一次$$ g(t,x)=E^{t,x}h(X(T)). $$ 因為需要的證明
Feynman-Kac equation需要鞅 $ g(t,X(t)), $ 但我不認為這裡 $ g(t,X(t)) $ 是鞅嗎？
在這裡，我們假設
$$ \begin{align*} g(t, x) = \mathbb{E}\left(h(X_T) \mid X_t = x \right). \end{align*} $$ 請注意，通過Shiryaev， $ g(t, x) $ 是一個 Borel 可測函式，使得對於任何 Borel 可測集 $ A $ , $$ \begin{align*} \int_{{X_t \in A}} h(X_T) d\mathbb{P} &= \int_A g(t, x) \mathbb{P}{X_t}(dx), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbb{P}{X_t}(dx) $ 是由分佈函式生成的 Lebesgue-Stieltjes 測度 $ X_t $ ，即對於任何 Borel 可測集 $ B $ , $$ \begin{align*} \mathbb{P}{X_t}(B) = \mathbb{P}(X_t \in B). \end{align*} $$ 還可以證明（參見Shiryaev的第 196 頁，從指示符和簡單函式開始，然後，通過單調收斂定理，到所有正函式，並通過分解，到所有可積可測函式）， $$ \begin{align*} \int_A g(t, x) \mathbb{P}{X_t}(dx) = \int_{{X_t \in A}} g(t, X_t) d\mathbb{P}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \int_{{X_t \in A}} h(X_T) d\mathbb{P} = \int_{{X_t \in A}} g(t, X_t) d\mathbb{P}. \end{align*} $$ 換句話說， $$ \begin{align*} g(t, X_t) = \mathbb{E}(h(X_T) \mid X_t) = \mathbb{E}(h(X_T) \mid \mathcal{F}_t), \end{align*} $$ 由馬爾可夫財產。而且， $ {g(t, X_t), , 0\le t \le T } $ 顯然是鞅。