默頓跳躍擴散
有人可以幫我找到默頓跳躍擴散模型解決方案的預期值：
$$ \begin{align} S_t &= S_0 \exp \left( \left(r - \frac{\sigma^2}{2} - \lambda k \right) t + \sigma W_t \right) \prod_{j=1}^{N_t} (1+\epsilon_i) \end{align} $$ 在哪裡 $ W_t $ 是 BM 並且 $ N_t $ 是一個有強度的Poisson過程 $ \lambda $ 和 $ k $ 是期望 $ \epsilon_i $ . 布朗運動和Poisson過程是獨立的。
我知道
$$ \begin{align} E \left[ \exp \left( \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right) t + \sigma W_t \right) \right] = \exp(rt) \end{align} $$ 但什麼是
$$ \begin{align} E \left[ \prod_{j=1}^{N_t} (1+\epsilon_i) \right] = ? \end{align} $$
給所有人 $ i $ 的平均值 $ \epsilon_i $ 是 $ k $ 並且 $ {\epsilon_i}_i $ 是 iid，我們有 $ ^{\text{(1)}} $ :
$$ \begin{align} E\left[\prod_{i=1}^{N_t}(1+\epsilon_i)\right] &=E\left[E\left[\prod_{i=1}^{N_t}(1+\epsilon_i)|N_t\right]\right] \[6pt] &=E\left[\prod_{i=1}^{N_t}E\left[(1+\epsilon_i)|N_t\right]\right] \[6pt] &=E\left[\prod_{i=1}^{N_t}(1+k)\right] \[13pt] &= E\left[(1+k)^{N_t}\right] \end{align} $$ 根據期望和分佈性質的定義 $ N_t $ :
$$ \begin{align} E\left[(1+k)^{N_t}\right]&=\sum_{n=0}^{\infty}(1+k)^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t} \[6pt] &= e^{k\lambda t} \end{align} $$ $ \text{(1)} $ 請注意這裡讓我一時感到困惑的微妙之處： $ n $ idd 隨機變數 $ \epsilon_1,\cdots,\epsilon_n $ 具有相同的分佈 $ \epsilon $ 不一樣*** $ \text{n}^{\text{th}} $ 變數的冪 $ \epsilon $ . 因此，您不能直接折疊產品 $ \prod{1\leq i \leq n}(1+\epsilon_i) $ 對權力 $ (1+\epsilon)^n $ ，您首先需要將期望“注入”到產品中。*