向量值函式的多維 Ito 引理
考慮向量 $ n $ 它處理
$$ d \mathbf{X}_t = \mathbf{\mu}(\mathbf{X}_t,t)dt + \Sigma(\mathbf{X}_t,t)d\mathbf{W}_t $$ 在哪裡 $ \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n $ 和 $ \Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n} $ . 讓 $ f $ 是一個二次連續可微的實值函式 $ n $ 實變數，所以 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ . 多維伊藤引理告訴我們
$$ df(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{X}t)dX_t^i + \frac{1}{2} \sum{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{X}_t)dX_t^i dX_t^j. $$ 數量 $ df \in \mathbb{R} $ ， 像 $ f $ . 現在，向量值呢 $ f $ ? 例如與 $ \mathbf{X_t} $ 如上，讓 $ dS_t = \mu(S_t,t)dt + \sigma(S_t,t)dW_t $ 並設置 $ f(\mathbf{x},s) = \frac{\mathbf{x}}{s} = (\frac{x_1}{s}, \ldots, \frac{x_n}{s})^T $ . 當按計價法對資產向量進行貼現時，就會出現這種情況。現在 $ f: \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^n $ ，所以微分似乎是有道理的 $ df \in \mathbb{R}^n $ ，也一樣，但我找不到這樣的說法。應該如何處理這樣的差異？
也許我錯過了什麼？
給定 $ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ ， 你可以寫 $ f = (f_1,\ldots,f_m) $ , 其中每個 $ f_i:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ . 將 Ito 應用於每個 $ f_i $ 分別地。