沒有乘積規則的 Ito 積分的偏導數

我正在考慮用被積函式的時間和狀態部分推導積分的隨機微分的問題，但不能以一種容易將其分解的方式導出 - 例如，我想推導關於的偏導數 $ t $ 的

$ \int_0^t e^{tX_s}X_s dB_s $

或類似的。在被積函式的情況下 $ f(t, X_t) $ 可以表示為狀態和時間項的乘積 我有時可以使用部分積分，但是有沒有一種通用的方法來處理這些類型的問題？

編輯：在建議出現之前，我還想結束我可以替換為一個函式的情況，然後我可以用產品差異化規則來解決這個問題。

有一個簡單的方法可以轉換 $ dB_t $ 至 $ dt $ 如果你的 $ X_t $ 是布朗運動的函式。讓我們計算一下： $$ \int^T_0e^{tBt}dB_t $$ 這是我的方法：

1. 在積分內部的函式中將 Bt 替換為 x，因此函式變為： $ e^{tx} $ .
2. 你計算函式關於 x 的原語： $ \int e^{tx}dx=\frac{e^{tx}}{t} $ .
3. 你替換 $ x $ 經過 $ B_t $ 在原語中，您使用 ito lamma 並完成： $$ d\frac{e^{tB_t}}{t}=\frac{B_te^{tB_t}-e^{tB_t}}{t^2}dt+e^{tB_t}dB_t+\frac{1}{2}te^{tB_t}dt $$ $$ e^{tB_t}dB_t=d\frac{e^{tB_t}}{t}-(\frac{B_te^{tB_t}-e^{tB_t}}{t^2}+\frac{1}{2}te^{tB_t})dt $$

我認為在這裡你可以區分。變數 $ t $ 在表達式中出現兩次：作為積分的極限和在被積函式內部。你從這些出現的每一個中得到一個偏導數。那是， $$ \frac{d}{dt} \int_0^t e^{t X_s} X_s dB_s = e^{t X_t} X_t dB_t

• \int_0^t e^{t X_s} X_s^2 dB_s . $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/51027