推導過程動力學的問題
我正在嘗試解決以下問題。給定一個過程 $ X_t $ 和一個過程 $ Z_t $ , 動態 $ X_t $ 作為
$$ dX_t = (\alpha + \beta X_t)dt + (\gamma + \sigma X_t)dW_t $$ 和 $ Z_t $ 定義為
$$ Z_t = \exp(\sigma W_t + (\beta-\frac{1}{2} \sigma^2)t) $$ 在哪裡 $ W_t $ 是標準布朗運動， $ \alpha $ , $ \beta $ , $ \gamma $ 和 $ \sigma $ 常數 $ R $ ，我必須找到過程的動態 $ X_t / Z_t $ .
現在，我嘗試了以下方法。
1）我對待過程 $ X_t / Z_t $ 作為一個函式 $ X_t $ 和 $ t $ ，並推導出動力學 $ d(X_t/Z_t) $ 使用伊藤公式。我得出的解決方案有點複雜，在我推導出 $ X_t / Z_t $ 我還必須找到隨機微分方程的顯式解，即 $ d(X_t / Z_T) $ 在哪裡 $ X(0)=0 $ （我假設在這種情況下， $ Z(0) = 1 $ 這樣 $ X(0)/Z(0) = 0 $ 是明確定義的）。根據我的結果，我不認為這是要走的路，因為事後推導一個顯式公式似乎非常複雜。
2）我試圖得出一個解決方案 $ X_t $ 通過使用“幾何布朗運動技巧”將等式的任一側除以 $ dX_t $ 經過 $ X_t $ ，兩邊整合，認識到解決方案“看起來像” $ ln X_t $ 然後繼續前進，但我最終並沒有得到一些不錯的東西（可能是因為 $ X(t) $ 不是幾何布朗運動）。
- $ Z(t) $ 顯然是幾何布朗運動。我一直想知道這是否是解決問題的關鍵。
任何人都可以提供任何可能幫助我解決這個問題的提示或技巧嗎？感謝您的時間。
使用 2D 版本的 Ito on $ d (\frac{X}{Z}) $ .
伊藤在 2 個變數上給出 $ d f(X,Z) = f_x dX + f_z dZ + 0.5*(f_{xx} dX^2 + f_{zz} dZ^2 + 2 f_{xz} dX dZ) $ .
在你的情況下 $ f(x,z) = \frac{X}{Z} $ . 你知道嗎 $ dX $ 是，因此只需插入即可。您擁有 Z 是什麼。尋找 $ dZ $ 在 Z 上應用 Ito 和“ito 區分”。插入 dZ 這將為您提供所需的動態。
這基本上是尋找解的積分因子技術 $ X_t $ ; 另見這個問題。注意
$$ d\left(\frac{1}{Z_t}\right) = \frac{1}{Z_t}\left[(\sigma^2-\beta) dt - \sigma dW_t\right]. $$ 然後， $$ \begin{align*} d\left(\frac{X_t}{Z_t}\right) &= X_t d\left(\frac{1}{Z_t}\right) +\frac{1}{Z_t} dX_t + d\Big\langle X, , \frac{1}{Z}\Big\rangle_t\ &=\frac{X_t}{Z_t}\Big[(\sigma^2-\beta) dt - \sigma dW_t\Big]\ &\quad +\frac{1}{Z_t}\Big[(\alpha + \beta X_t)dt + (\gamma + \sigma X_t) dW_t \Big]-\sigma^2\frac{X_t}{Z_t}dt\ &=\frac{1}{Z_t}(\alpha, dt + \gamma, dW_t). \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} \frac{X_t}{Z_t} = \alpha \int_0^t \frac{1}{Z_s} ds +\gamma\int_0^t \frac{1}{Z_s} dW_s. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} X_t &= Z_t\left[ \alpha \int_0^t \frac{1}{Z_s} ds +\gamma\int_0^t \frac{1}{Z_s} dW_s\right] \ &= \alpha\int_0^t e^{-\big(\frac{1}{2}\sigma^2 -\beta\big)(t-s) +\sigma(W_t-W_s)}ds +\gamma \int_0^t e^{-\big(\frac{1}{2}\sigma^2 -\beta\big)(t-s) +\sigma(W_t-W_s)}dW_s. \end{align*} $$