關於隨機積分鞅性質的問題

讓 $ W_{t} $ 是一個維納過程，並且讓

$$ X_{t} = \int^{t}{0}W{\tau}d\tau $$ 是 $ X_{t} $ 鞅？我們可以用微分形式重寫為 $$ dX_{t} = W_{t}dt $$ ，意思是 $ X_{t} $ 是一個只有漂移部分的擴散過程 $ W_{t} $ 因此 $ X_{t} $ 不是鞅。然而，通過部分整合，我們有 $$ \begin{align} X_{t} &= t W_{t} - \int^{t}{0}\tau dW{\tau}\ &=t \int^{t}{0}dW{\tau} - \int^{t}{0}\tau dW{\tau}\ &= \int^{t}{0}(t-\tau)dW{\tau} \end{align} $$ $ t-\tau $ 是一個確定性的平方可積函式，根據隨機積分的鞅性質， $ X_{t} $ 是鞅。現在我的問題是上面哪個分析是正確的？提前致謝。

如果 $ X_t $ 是平方可積的，那麼積分

$$ \begin{align*} \int_0^t X_{\tau} dW_{\tau} \end{align*} $$ 是鞅。在這裡，被積 $ X_{\tau} $ 不依賴於積分極限 $ t $ . 但是，在您的情況下，被積函式， $ t-\tau $ ， 取決於 $ t $ ，則積分的鞅性條件不成立。

這兩個過程在路徑上並不相等。這是兩個過程的模擬（範例路徑） $ (t-\tau)dW_{\tau} $ 和 $ W_\tau d\tau $ :

請注意，兩個程序在最後時刻具有相同的值。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22841