關於 Leif Andersen 的“利率建模，第 2 卷期限結構模型”的問題
我正在閱讀 Leif Andersen 的“利率建模，第 2 卷期限結構模型”，並在第 14 章 LM 動力學和測量中遇到了一個問題， $ \S $ 14.2.5 隨機波動率，引理 14.2.6，第 602 頁。
在引理之前，隨機波動率 LMM 模型是在現場測量中定義的 $ Q^B $ （numeraire 是離散銀行賬戶 $ B(t)=P(t,T_{q(t)}) \prod \limits _{n=0} ^{q(t)-1} \left(1+\tau_nL_n(T_n)\right) $ ).
$$ dz(t) = \theta (z_0-z(t)) dt + \eta \psi(z(t)) dZ(t), \quad z(0) = z_0 \tag{14.15} $$ $$ dL_n(t) = \sqrt{z(t)} \varphi(L_n(t)) \lambda_n(t)^\top \left(\sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt + dW^B(t) \right) \tag{14.16} $$ 在哪裡$$ \mu_n(t) = \sum_{j=q(t)}^n \frac{\tau_j \varphi(L_j(t)) \lambda_j(t)}{1+\tau_j L_j(t)} $$ , 和 Z(t) 在現場測量下的布朗運動 $ Q^B $ . 現在引理 14.2.6 說，SDE 為 $ z(t) $ 在測量中 $ Q^{T_{n+1}} $ , $ n\geq q(t) -1 $ 是
$$ \begin{align} dz(t) &= \theta(z_0-z(t)) dt + \eta \psi(z(t)) \ &\times \left( -\sqrt{z(t)} \mu_n(t)^\top \langle dZ(t), dW^B(t) \rangle + dZ^{n+1}(t) \right) \tag{14.17} \end{align} $$ ， 在哪裡 $ Z^{n+1}(t) $ 是一個測量布朗運動 $ Q^{T_{n+1}} $ .
書上的證明如下：
根據之前的結果，我們有
$$ dW^{n+1}(t) = \sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt + dW^B(t) $$ 讓我們介紹一下 $ m $ 維向量
$$ a(t) = \langle dZ(t), dW^B(t) \rangle / dt \tag{1} $$ 這樣我們就可以寫
$$ dZ(t) = a(t)^\top dW^B(t) + \sqrt{1-|a(t)|^2}d\widetilde W(t) \tag{2} $$ 在哪裡 $ \widetilde W(t) $ 是一個標量布朗運動，獨立於 $ W^B(t) $ . 在措施 $ Q^{T_{n+1}} $ ，然後我們有
$$ \begin{align} dZ(t) &= a(t)^\top \left(dW^{n+1}(t) - \sqrt{z(t)}\mu_n(t) dt \right) + \sqrt{1-|a(t)|^2} d\widetilde W(t) \tag{3}\ &=dZ^{n+1}(t) - a(t)^\top \sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt \tag{4} \end{align} $$ 結果如下。 我的問題是：
**Q1。**為什麼用 $ (1) $ 一個可以寫 $ (2) $ ? 這是任何 2 個布朗運動的屬性嗎？
**Q2。**後 $ (3) $ 我只能得到
$$ dZ(t) = a(t)^\top dW^{n+1}(t) + \sqrt{1-|a(t)|^2}d\widetilde W(t) - a \sqrt{z(t)}\mu_n(t) dt $$ 要得到 $ (4) $ 這意味著可以定義布朗運動 $ Z^{n+1}(t) $ 在測量中 $ Q^{T_{n+1}} $ 作為：
$$ dZ^{n+1} (t) = a(t)^\top dW^{n+1}(t) + \sqrt{1-|a(t)|^2}d\widetilde W(t) $$ 一個人怎麼可能這樣做？注意 $ \widetilde W(t) $ 是一個測量布朗運動 $ Q^B $ ， 但 $ W^{n+1}(t) $ 是一個測量布朗運動 $ Q^{T_{n+1}} $ ，這裡是不是有點亂？
對於 Q1，函式 $ a(t) $ 是瞬時相關性。(2) 給出的形式基本上是 Cholesky 分解。當然，你可以直接用 Levy 的描述來證明，
$$ \widetilde{W}(t) = \int_0^t\bigg[\frac{1}{\sqrt{1-||a(t)||^2}} dZ(t) -\frac{a(t)^T}{\sqrt{1-||a(t)||^2}} dW^B(t) \bigg] $$ 是一個標準標量布朗運動，它獨立於 $ W^B(t) $ . 對於 Q2，請注意 $ \widetilde{W}(t) $ 是獨立於的布朗運動 $ W^B(t) $ , 也是測度下的布朗運動 $ Q^{T_{n+1}} $ – Radon-Nykodim 導數
$$ \frac{dQ^{T_{n+1}}}{dQ^B}|_{t} = \exp\bigg(-\int_0^t\sqrt{z(s)}\mu_n(s)dW^B_s - \frac{1}{2} \int_0^t z(s)\mu_n^2(s) ds\bigg), $$用於 Girsanov 變換，獨立於 $ \widetilde{W}(t) $ .