更改計分錶時的氡 Nikodym 導數
我從維基百科注意到，如果 $ Q $ 和 $ Q^N $ 是對應於numeraires的兩個度量 $ M $ 和 $ N $ ，則 Radon Nikodym 導數由下式給出：$$ \frac{dQ^N}{dQ} = \frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}. $$
但是我不明白這個公式是如何來自 Radon-Nikodym 導數的傳統定義的，它是一個隨機變數，因此以下適用於所有 RV $ Z $ : $ E_N(Z)=E_M\left(\frac{dQ^N}{dQ}Z\right) $
對於任何價格流程 $ Z $ ， 鑑於 $ N $ 和 $ M $ 是計價過程， $$ \begin{align*} E_N\left(\frac{Z_T}{N_T} \right) = E_M\left(\frac{Z_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0} \right), \end{align*} $$ 因為它們都等於 $ Z_0/N_0 $ . 另請注意 $$ \begin{align*} E_N\left(\frac{Z_T}{N_T} \right) = E_M\left(\frac{dQ_N}{dQ_M}\frac{Z_T}{N_T} \right). \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E_M\left(\frac{dQ_N}{dQ_M}\frac{Z_T}{N_T} \right) &= E_M\left(\frac{Z_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0} \right)\ &=E_M\left(\frac{N_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0}\frac{Z_T}{N_T}\right). \end{align*} $$ 自從 $ \frac{Z_T}{N_T} $ 可以是任意的，我們得出結論 $$ \begin{align*} \frac{dQ_N}{dQ_M} = \frac{N_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0}. \end{align*} $$