CIR 過程的驅動布朗運動的採樣變化
我有由 CIR 過程驅動的波動性：
$$ \mathrm{d}v_t = \kappa (\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t + \omega \sqrt{v_t}\mathrm{d}W_v\text{.}\tag{1} $$
我正在處理這個過程的幾個（複雜的）近似值（例如，來自Andersen 論文的 QE ）。給定 $ v(t) $ , 這些近似值對 a $ v(t+\epsilon) $ . 然而，除了擁有一個 $ v(t+\epsilon) $ , 我想採樣
$$ \int_t^{t+\epsilon} \mathrm{d}W_v = W_v(t+\epsilon)-W_v(t)\text{.}\tag{2} $$
問：給定 $ v(t) $ 和 $ v(t+\epsilon) $ ，如何從（2）的條件分佈中採樣？
可以將 Euler-Maruyama 離散化方案用於 CIR，“固定”用於 $ v $ 積極性，得到：
$$ v(t+\epsilon) -v(t)\approx \kappa (\bar{v} -v(t)^+)\epsilon + \omega \sqrt{v(t)^+} (W_v(t+\epsilon) - W_v(t)). $$
所以，布朗增量的一個近似值，當 $ v(t) $ 和 $ v(t+\epsilon) $ 給出，是：
$$ W_v(t+\epsilon) - W_v(t) \approx \frac{v(t+\epsilon) -v(t) - \kappa (\bar{v} -v(t)^+)\epsilon}{\omega \sqrt{v(t)^+} } ;;;;;({\rm when} ; v(t)\not= 0) $$
*注意：*在 Heston 模型上下文中，通常會去掉 $ \sqrt{v(t)}dW_v(t) $ （積分反對 $ W_v $ ) 使用精確等式（等式 (10)，Andersen 的論文第 7 頁）：
$$ \int_t^{t+\epsilon} \sqrt{v(u)}dW_v(u) = \omega^{-1} \left(v(t+\epsilon) -v(t) - \kappa \bar{v} \epsilon - \kappa\int_t^{t+\epsilon} v(u)du \right), $$
在使用 Cholesky 分解後 $ W_X $ , 離開以計算針對新布朗運動的積分 $ W $ 獨立於 $ v $ , $ \int_t^{t+\epsilon} \sqrt{v(u)}dW(u) $ .