顯示過程是鞅

$$ Z(t)=(\frac{S(t)}{H})^p $$在哪裡 $ S $ 對股票有標準的布萊克-斯科爾斯動力學， $ H $ 是一個正常數並且 $ p =1 - \frac{2r}{\sigma^2} $ . 我怎麼能證明這一點 $ Z(t)/Z(0) $ 是均值為 1 的正 Q-鞅嗎？ 除了我們在標準的 Black-SCholes 模型中之外，這些問題沒有指定任何關於過濾的內容。我關心的是如何治療 $ S_0 $ . 將要 $ S_0 $ 是一個過程還是只是一個常數？

假設標準 BS 動態為 $ S_t $ ， 你有

$ \frac{Z_t}{Z_0}\equiv(\frac{S_t}{S_0})^p = \exp{((rt-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma W_t)(1-\frac{2r}{\sigma^2}))} $

現在，這是一個對數正態分佈的 rv 並且指數內的高斯具有均值和變異數

$ m=2rt - \frac{\sigma^2}{2}t -\frac{2r^2}{\sigma^2}t $

$ v = (\sigma-\frac{2r}{\sigma})^2 t $

應用對數正態 rv 期望的標準公式 $ E(e^X)=e^{m_X+\frac{v_X}{2}} $ , 經過一點算術你會發現

$ E(\frac{Z_t}{Z_0}) = 1 $

*作為起點：*價格動態 $ dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t) dW^\mathbb{Q}(t) $ , 來證明 $ Z(t)/Z(0) $ 為正均值 1 Q-鞅，用伊藤公式可得：

$ dZ(t)=p \sigma Z(t)dW^\mathbb{Q}(t) $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/38597