在 Bugard & Kjaer 中找到的債券 SDE 解決方案
我正在閱讀 Burgard 和 Kjaer的論文*——具有雙邊交易對手風險和融資成本的衍生品的偏微分方程表示。*對於可違約債券，給出了以下 SDE： $$ dP(t) = r(t)P(t)dt - P(t)dJ(t), $$ 在哪裡 $ r(t) $ 是一個適應的過程，並且 $ J(t) $ 是一個跳躍過程，在債券發行人違約時從零變為一。
我試圖通過找到一個封閉形式的公式來解決這個 SDE $ P(t) $ ，我正在遵循 Steven Shreve 的書中給出的理論：-金融隨機微積分，連續時間模型-（第 11 章）。我正在嘗試使用 Ito 的跳躍公式，但我被卡住了。關於如何繼續正式獲得的任何提示 $ P(t) $ 來自 SDE？提前致謝。
我會假設 $$ J_t = \sum_{i=1}^{N_t} Z_i $$是一個複合Poisson過程，有 $ (T_n){n\geq 1} $ 是Poisson過程的跳躍時間 $ (N_t){t\geq 0} $ 和 $ (Z_i){i\geq 1} $ 獨立於獨立同分佈變數的序列 $ (N_t){t\geq 0} $ .
對於 SDE
$$ dP_t = P_{t^-} dJ_t $$
我們注意到在跳躍的時候我們有
$$ dP_{T_i} = P_{T_i} - P_{T_i^-} = Z_{i} P_{T_i^-} $$
所以
$$ P_{T_i} = (1+Z_i) P_{T_i^-} $$
從這裡我們可以得出結論：
$$ P_t = P_0 \prod _{i=1}^{N_t} (1+Z_i) $$
添加漂移
$$ dP_t = r_t P_t dt + P_{t^-} dJ_t $$
給
$$ P_t = P_0 \mathrm{e}^{\int_0^t r_s ds}\prod _{i=1}^{N_t} (1+Z_i) $$
在跳躍時間之間 $ P_t $ 演變為 $ r_t P_t dt $ 並乘以 $ 1+Z_{i} $ 在 $ T_{i} $ ， 從…開始
$$ P_t = P_0 \mathrm{e}^{\int_0^t r_s ds} $$
為了 $ t\in [0,T_1) $ .