隨時間波動和漂移的幾何布朗運動的解決方案？
我能夠計算標準幾何布朗運動的一般解決方案，但我正在努力尋找波動性和均值取決於時間的 GBM 的一般解決方案，$$ \text{d}S_t = \mu(t) S_t\text{d}t+\sigma(t) S_t\text{d}W_t. $$
標準幾何布朗的一般解， $ \text{d}S_t = \mu S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t $ 可以通過首先分離變數來計算 $ \frac{\text{d}S_t}{S_t} = \mu \text{d}t+\sigma \text{d}W_t $ ，然後在兩邊取積分 $ \int\frac{\text{d}S_t}{S_t} = \int \mu dt+\sigma dW_t $ . 自從 $ \frac{\text dS_t}{S_t} $ 連結到導數 $ \ln(S_t) $ , 進行的步驟構成伊藤演算並導致 $ \ln(S_t) = (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma W_t $ . 然後在兩邊取指數並插入初始條件 $ S(0) $ 我們得到解析解 $ S(t) = S(0) e^{(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)t+ \sigma W_t} $
然而，當 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 是時間相關的 $ \text{d}S_t = \mu(t) S_t\text{d}t+\sigma(t) S_t\text{d}W_t $ ，解決方案完全不同，我嘗試應用我在標準幾何布朗運動中使用的相同方法，但解決方案不正確。我在網上找到了一些材料，但對我來說似乎沒有意義……我能夠繼續直到雙方整合，然後我不知道該怎麼辦。
考慮廣義幾何布朗運動 $$ \text{d}S_t = \mu(t)S_t \text{d}t+\sigma(t)S_t \text{d}W_t. $$
使用伊藤引理，你得到 $$ \text{d}\ln(S_t) = \left(\mu(t)-\frac{1}{2}\sigma^2(t)\right)\text{d}t+\sigma(t) \text{d}W_t. $$ 因此，根據 SDE 的定義， $$ \ln(S_t) =\ln(S_0)+\int_0^t \left(\mu(s)-\frac{1}{2}\sigma^2(s)\right)\text{d}s+\int_0^t\sigma(s) \text{d}W_s. $$ 因此， $$ S_t =S_0\exp\left(\int_0^t \left(\mu(s)-\frac{1}{2}\sigma^2(s)\right)\text{d}s+\int_0^t\sigma(s) \text{d}W_s\right). $$ 如果不假設您的漂移和變異數是什麼，您就無法簡化這些積分。但是，您可以計算股票價格等的時刻。該過程仍然是對數正態分佈的。