求解dX噸=μX噸dt+σd在噸dX噸=μX噸d噸+σd在噸dX_{t} = mu X_{t} dt + sigma dW_{t}
我想解決以下 SDE：
$$ dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma dW_{t} \quad X_{0} = x_{0} $$
整合，我得到：
$$ X_{t} - x_{0}= \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma \int_{0}^{T} dW_{t} $$ $$ X_{t} = x_{0} + \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma [W_{t} - W_{0}] $$ $$ X_{t} = x_{0} + \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma W_{t} $$
這就是我卡住的地方——我該如何進行？
我知道解決方案：
$$ dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma X{t} dW_{t} \quad X_{0} = x_{0} $$
是（誰）給的：
$$ X_{t} = X_{0}e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2})t} + \sigma W_{t} $$
這是由基本矩陣解決方案給出的。（雖然老實說我不確定這是如何得出的，所以我不能專門針對我的情況）。
抱歉問了這麼一個基本問題。我正在嘗試從網路上的資源中學習這一點。因此，如果有人能推荐一本關於如何實際解決 SDE 的好書，我將不勝感激。
看來您需要閱讀一些書籍，例如隨機微分方程。對於這種類型的方程，您需要使用稱為積分因子的東西，例如函式 $ e^{-\mu t} $ 這裡。注意 $$ \begin{align*} d\big(e^{-\mu t} X_t \big) &= X_t d\big(e^{-\mu t}\big) + e^{-\mu t} dX_t\ &=-\mu e^{-\mu t} X_t dt + e^{-\mu t} (\mu X_t dt + \sigma dW_t)\ &=\sigma e^{-\mu t} dW_t. \end{align*} $$ 那麼，對於 $ t > s \ge 0 $ , $$ \begin{align*} e^{-\mu t} X_t = e^{-\mu s} X_s+ \int_s^t \sigma e^{-\mu v} dW_v. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} X_t &= X_s e^{\mu (t-s)} + \sigma\int_s^t e^{\mu (t-v)} dW_v\ &\sim N\Big(X_s e^{\mu (t-s)}, , \sigma^2\int_s^t e^{2\mu (t-v)} dv \Big). \end{align*} $$