Steven Shreve：隨機微積分與金融
講義有以下定理：
讓 $ \theta\in \mathbb{R} $ 被給予和 $ B(t) $ 表示為鞅的布朗運動，則 $ Z(t)=exp{-\theta B(t)-\dfrac{1}{2}\theta^2t} $ 也是鞅。
$ \underline{proof:} $ 讓 $ 0\leq s\leq t $ 被給予。然後 $$ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=\mathbb{E}[exp{-\theta (B(t)-B(s)) -B(s) -\dfrac{1}{2}\theta^2((t-s)+s)}|\mathbb{F}(s)]\Rightarrow \ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)\mathbb{E}[exp{-\theta (B(t)-B(s)) -\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)}|\mathbb{F}(s)]\Rightarrow \ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)exp{\dfrac{1}{2}(-\theta)^2\mathbb{Var}(B(t)-B(s))-\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)}=Z(s) $$ 在哪裡 $ X=B(t)-B(s)\sim N(0,t-s) $ . 我的問題是你如何證明這部分 $ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)exp{\dfrac{1}{2}(-\theta)^2\mathbb{Var}(B(t)-B(s))-\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)} $ 通過使用正常的pdf進行分析。我在努力證明這一部分時遺漏了一些東西，因為我所擁有的那些教科書都沒有分析性地做到這一點。
請注意， $ B_t=B_s+(B_t-B_s) $ 它是獨立正態分佈隨機變數的總和。尤其是， $ B_s $ 是 $ \mathbb{F}s $ - 可測量和 $ B{t-s} $ 獨立於 $ \mathbb{F}_s $ . 因此， $$ \begin{align*} \mathbb{E}s[Z_t] &= \mathbb{E}s\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2t+\theta B_t\right)\right] \ &= \mathbb{E}s\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2t+\theta B_s+\theta B{t-s}\right)\right] \ &= \exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2s\right)\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\mathbb{E}s\left[\exp\left(\theta B_s+\theta B{t-s}\right)\right]\ &= \exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2s\right)\cdot\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\exp\left(\theta B_s\right)\cdot\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta B{t-s}\right)\right]\ &= Z_s\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\exp\left(\frac{1}{2}\theta^2 \mathrm{Var}[B{t-s}]\right) \ &= Z_s\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)+\frac{1}{2}\theta^2 (t-s)\right) \ &= Z_s. \end{align*} $$
你已經完成並且已經證明了這一點 $ (Z_t) $ 是鞅（關於布朗運動的自然過濾）。
您不需要積分正常密度。這只是乏味。您應該首先分解開頭提到的布朗運動。這 $ -\frac{1}{2}\theta^2t $ 可以類似地拆分並從預期中拉出，因為它是非隨機的。然後，您可以使用可測量性和獨立性（條件期望的兩個關鍵屬性）來拉出 $ B_s $ 並降低條件期望 $ B_{t-s} $ 到一個簡單的期望。然後，請注意 $ B_{t-s}\sim N(0,t-s) $ 然後 $ \mathbb{E}\left[e^{m+sZ}\right]=e^{m+0.5s^2} $ - 一個有用的公式要記住。