布朗運動的變異數
有人可以指出我正確的方向來計算這個： $ E(B^4_t)=3t^2 $
我曾嘗試使用以下屬性，但沒有成功：
$ E(B^4_t)=E(B^2_tB^2_t)=E(\int B^2 dt )E(\int B^2 dt )=[E(\int B^2 dt )]^2=[\int E(B^2) dt]^2=[\int t dt]^2 $
任何其他建議將不勝感激。謝謝！
將伊藤引理應用於 $ W_t^4 $ :
$$ \text{d}(W_t^4)=4W_t^3\text{d}W_t+6W_t^2\text{d}t $$ 整合：
$$ W_t^4=4\int_0^tW_s^3\text{d}W_s+6\int_0^tW_s^2\text{d}s $$ 第一項是伊藤積分，通過構造是一個鞅，有期望 $ 0 $ 因此：
$$ E[W_t^4]=6\int_0^tE[W_s^2]\text{d}s=6\int_0^ts\text{d}s=3t^2 $$
當時 $ t $ , 布朗運動 $ B_t $ 只是一個正常的隨機變數 $ N(0,t) $ .
法線的矩生成函式 $ N(\mu,\sigma^2) $ 隨機變數如下：
$$ M(x) = exp(\mu x + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2) $$ 此外，四階矩作為該方程的四階導數給出： $$ M’’’’(x) = exp(\mu x + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2)\Big( (\mu + \sigma^2x)^4 + 6\sigma^2(\mu + \sigma^2 x)^2 + 3\sigma^4 \Big) $$ 所以期望 $ B_t^4 $ 只是第四個時刻，評估為 $ x=0 $ （帶參數 $ \mu = 0 $ , $ \sigma^2 = t $ ): $$ E(B_t^4) = M’’’’(0) = 3\sigma^4 = 3t^2 $$