Cox-Ingersoll-Ross 短期利率的變異數
Shreve II 第 151 頁，Cox-Ingersoll-Ross 模型定義為
$$ dr_t=(\alpha-\beta r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t}dW_t $$ 通過應用伊藤引理，我們得到 $$ \begin{align} r_t&=r_0e^{-\beta t}+\frac{\alpha}{\beta}(1-e^{-\beta t})+\sigma e^{-\beta t}\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u\ &=\frac{\alpha}{\beta}+\Big(r_0-\frac{\alpha}{\beta}\Big)e^{-\beta t}+\sigma e^{-\beta t}\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u \end{align} $$ 現在對於變異數 $ r_t $ , Shreve 建議我們設置 $$ X_t=e^{\beta t }r_t $$ 並應用伊藤引理得到 $ dX_t $ ， 之後 $ d(X_t^2) $ 可能會被發現。然後 $ d(X_t^2) $ 被整合以獲得 $ X_t^2 $ ， 從中 $ r_t^2 $ 被發現。最後，變異數來自 $$ Var(r_t)=E(r_t^2)-(E(r_t))^2 $$ 我的問題是，為什麼不考慮變異數 $ r_t $ 即刻，即 $$ \begin{align} Var(r_t)&=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^te^{2\beta u}E(r_u)du\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^te^{2\beta u}\Big(\frac{\alpha}{\beta}+\Big(r_0-\frac{\alpha}{\beta}\Big)e^{-\beta u}\Big)du \end{align} $$ 從這裡開始，集成很簡單。它產生與 Shreve 方法相同的結果。 一種可能性是我假設 $ E(r_u(dW_u)^2) $ = $ E(r_u)E((dW_u)^2) $ , 表示相互獨立 $ r_t $ 和 $ (dW_t)^2 $ .
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不需要獨立性假設。事實上，基於伊藤的等距和富比尼定理，
$$ \begin{align*} Var(r_t) &= E\left((r_t-E(r_t))^2 \right)\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t} E\left(\left(\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u\right)^2 \right)\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t} E\left(\int_0^te^{2\beta u} r_u du \right)\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^t e^{2\beta u}E(r_u) du. \end{align*} $$