為什麼這個隨機積分是鞅？
假設：
- $ W^_t $ 是機率測度下的維納過程 $ \mathbb{P}^ $ 和;
- $ \tilde{S}t=S_0+\sigma\int{0}^{t}S(u)dW^*_s $ .
在我的講義中，它說 $ \tilde{S}_t $ 是鞅 $ \mathbb{P}^* $ “因為關於布朗運動的從 0 到 t 的隨機積分是鞅”。
為什麼這個引用（粗體）確實是正確的？
在積分
$$ \int_0^t S_u dW^{*}_u , , $$
$ dW^{}_u \equiv W^{}_{u+du} - W^{*}_u $ 獨立於被積函式 $ S_u $ .
所以， $ \mathbb{E}\left[ \int_0^t S_u dW^{}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \int_0^t \mathbb{E}\left[S_u \middle\vert \mathcal{F}_0\right]\mathbb{E}\left[dW^{}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = 0 $ ， 自從 $ \mathbb{E}\left[dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0 \right] = 0 $ .
所以， $ \mathbb{E}\left[ S_t\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[ S_0\middle\vert \mathcal{F}_0\right] + \mathbb{E}\left[ \int_0^t S_u dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[ S_0\middle\vert \mathcal{F}_0\right] $ .
為了解決 Gordon 的評論，即我們需要證明積分是鞅，請回想一下 $ g_t $ 是鞅，如果，對於 $ s < t $ , $$ \mathbb{E}\left[ g_t \middle\vert \mathcal{F}_s \right] = g_s , . $$ 現在讓 $ g_t = \int_0^t S_u dW^{}_u $ . $$ \mathbb{E}\left[ g_t \middle\vert \mathcal{F}_s \right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^s S_u dW^{}_u\middle\vert \mathcal{F}_s\right] + \mathbb{E}\left[ \int_s^t S_u dW^{}_u\middle\vert \mathcal{F}_s\right] = \int_0^s S_u dW^{}_u + 0 = g_s , . $$