為什麼在3噸W_{t}^3不是martigale？（按定義）
如果在噸 $ W_t $ 那麼做一個維納過程，我怎麼能證明這一點在3噸 $ W_{t}^{3} $ 根據定義，不是鞅嗎？
請注意，對於0≤s<噸 $ 0 \leq s < t $ , 在3噸=(在噸−在s+在s)3=(在噸−在s)3+3(在噸−在s)2在s+3(在噸−在s)在2s+在3s.
$$ \begin{align*} W_t^3 &= (W_t-W_s+W_s)^3\ &= (W_t-W_s)^3 + 3(W_t-W_s)^2 W_s + 3 (W_t-W_s) W_s^2 + W_s^3. \end{align*} $$ 而且， 和((在噸−在s)3∣Fs)=和((在噸−在s)3)=0,和((在噸−在s)2在s∣Fs)=在s和((在噸−在s)2)=(噸−s)在s,$$ \begin{align*} E\big( (W_t-W_s)^3 \mid \mathcal{F}_s\big) &= E\big( (W_t-W_s)^3\big)\ &= 0,\ E\big((W_t-W_s)^2 W_s \mid \mathcal{F}_s\big) &= W_s E\big( (W_t-W_s)^2\big)\ &= (t-s)W_s, \end{align*} $$ 和 和((在噸−在s)在2s∣Fs)=在2s和((在噸−在s))=0.$$ \begin{align*} E\big( (W_t-W_s) W_s^2 \mid \mathcal{F}_s\big) &= W_s^2 E\big( (W_t-W_s)\big)\ &=0. \end{align*} $$ 然後， 和(在3噸∣Fs)=3(噸−s)在s+在3s.$$ \begin{align*} E\big(W_t^3\mid \mathcal{F}_s\big) &= 3(t-s)W_s+W_s^3. \end{align*} $$ 那是，{在3噸∣噸≥0} $ {W_t^3 \mid t\geq 0} $ 不是鞅。然而，我們注意到， {在3噸−3噸在噸∣噸≥0} $ {W_t^3 -3tW_t \mid t\geq 0} $ is a martingale. See Question Show that E[Bt|Fs]=Bs $ E[B_t|\mathscr{F}_s] = B_s $