為什麼匯率會遵循幾何布朗運動？
我正在閱讀 Shreve 的Stochastic Calculus for Finance。
在第 382 頁，他開始談論匯率：
最後是匯率 $ Q(t) $ ，它給出每單位外幣的本幣單位。我們假設這滿足
$$ \mathrm{d}Q(t) = \gamma(t)Q(t)\mathrm{d}t + \sigma_2(t)Q(t)\Big[\rho(t)\mathrm{d}W_1(u) + \sqrt{1-\rho^2(t)} \mathrm{d}W_2(t) \Big]\text{.}\tag{9.3.2} $$
我們定義
$$ W_3(t) = \int_0^t \rho(u) \mathrm{d}W_1(u) + \int_0^t \sqrt{1-\rho^2(t)} \mathrm{d}W_2(t)\text{.}\tag{9.3.3} $$
由 Lévy 定理，定理 4.6.4， $ W_3(t) $ 是下的布朗運動 $ \mathbb{P} $ . 我們可以將 (9.3.2) 重寫為
$$ \mathrm{d}Q(t) = \gamma(t)Q(t)\mathrm{d}t + \sigma_2(t)Q(t) \mathrm{d}W_3(t)\text{,}\tag{9.3.4} $$
我們從中看到 $ Q(t) $ 有波動 $ \sigma_2(t) $ .
為什麼像（9.3.4）那樣對匯率建模有意義？為什麼匯率會復合？這不會導致每次增加（或減少）匯率嗎？
如果 $ \gamma(t) $ 被選擇來防止這種情況，我們應該如何選擇 $ \gamma(t) $ ?
你是對的，從長遠來看，這可能是一個奇怪的外匯動態模型。然而，它並不總是導致外匯匯率趨於零或無窮大。對於常數參數，GBM 具有眾所周知的解決方案。
$$ Q(t)=Q(0)\exp\left((\gamma-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_{3}(t)\right) $$
例如，如果$$ \gamma-\frac{1}{2}\sigma^2>0 $$
幾乎可以肯定，該比率趨於無窮大。但是如果你設置 $ \gamma-\frac{1}{2}\sigma^2=0 $ 是不傾向於任何事情。
如果我們允許係數取決於 $ Q $ ，我們也可以設置 $ \gamma(t)=0 $ 和 $ \sigma(t)=\sigma \frac{1}{Q(t)} $ . 這給出了也不傾向於任何東西的零均值算術布朗運動：
$$ \frac{dQ(t)}{Q(t)}=\sigma dW_3(t) $$
無論選擇哪種發行方式，都必須能夠應對具有多種面額的阿根廷比索。維基百科：“在貨幣的各種變化和零的下降之後，一個比索可兌換貨幣相當於 10 萬億比索 moneda nacional。”
無論選擇哪種發行方式，都必須能夠應對美元，美元已經從幾億比索變成了價值約一千萬億的美元。