Shreve 書中未來現金流的價值為零
future price這是Shreve 的書Stochastic Calculus for Finance II第 244 頁中的陳述，以value of cash flow is zero.證明 $ D(t_{k+1}) $ 是 $ \mathcal{F}(t_k) $ - 可測量的，因為定義 $ D(t_{k+1}) $ 在離散利率情況如下：
但是，在連續利率的情況下，我們永遠無法保證 $ D(t_2) $ 是 $ \mathcal{F}(t_1) $ - 可測量的時間 $ t_2>t_1. $ 聲明還成立嗎？
在實踐中，期貨合約可以被視為保證金遠期合約。更具體地說，通過考慮相關期貨價格過程的價值變化，期貨在每個工作日結束時被標記為市場 $ (\mathcal{F}(t,T))_{t \in [0,T]} $ 驗證 $ \mathcal{F}(T,T)=S_T $ . 這種 MtM 變化每天由交易所通過貸記/借記持有人的保證金賬戶進行結算*。*這種每日保證金意味著期貨合約的價值每天都有效地重置為零。\
如果我們要在連續時間內對此進行建模，那麼我們應該將期貨合約解釋為一種金融工具
- 它可以在任何時候以零成本進入（或平倉），這樣它的 $ t $ -價值 $ V_t \equiv 0, \forall t $
- 支付現金股息 $ dD_t = \mathcal{F}(t+dt,T)-\mathcal{F}(t,T) $ 在每個無窮小的周期內 $ [t,t+dt[ $ 在哪裡 $ \mathcal{F}(t,T) $ 數字未來價格的成熟過程 $ T $ 和 $ D_t $ 累積紅利過程。
- 這樣未來的價格過程應該驗證 $ \mathcal{F}(T,T) = S_T $ 幾乎可以肯定。
REM：在這些定義中，重要的是不要混淆期貨合約的價值，根據定義，它是零，期貨價格不是。
對於任何支付股息的資產 $ V_t $ ，眾所周知，自籌資金策略包括將其股息過程的所有貢獻全部再投資 $ D_t $ ，因此隨著時間的推移，總體上沒有外生的現金提取或註入。這導致以下自籌資金的投資組合財富演變始於 $ X_0=0 $
$$ \begin{align*} dX_t &= dV_t + (X_t - V_t) r dt + dD_t \end{align*} $$ 和套利自由定價理論告訴我們，任何自籌資金的策略，在這裡 $ X_t $ , 應該是風險中性測度下的鞅 $ \Bbb{Q} $ 與貨幣市場賬戶相關的 $ B_t $ 數量的。在這裡，這表明 $ B_t^{-1}X_t $ 應該是一個 $ \Bbb{Q} $ -鞅。現在， $$ \begin{align} d(B_t^{-1} X_t) &= B_t^{-1} \left( dX_t + X_t r dt \right) \ &= B_t^{-1} \left( dV_t + dD_t - rV_t dt \right) \ &= B_t^{-1} \left( B_t(d(B_t^{-1}V_t)) + dD_t \right) \ &= d(B_t^{-1}V_t) + B_t^{-1} dD_t \end{align} $$ 這樣 $$ \begin{equation} B_t^{-1} X_t = B_t^{-1} V_t + \int_0^t B_s^{-1} dD_s \end{equation} $$ 對於期貨， $ V_t \equiv 0 $ 和 $ \Bbb{Q} $ -martingale 屬性可以進一步寫為
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ B_t^{-1} X_t \right] = B_0^{-1} X_0 = 0 $$ 因此 $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ \int_0^t B_s^{-1} dD_s \right] = \Bbb{E}^\Bbb{Q}0 \left[ \int_0^t B_s^{-1} d\mathcal{F}(s,T) \right] = 0 $$ 其中，假設某些光照條件下的適應性和規律性 $ (B_s){t \geq 0} $ , 是否驗證未來價格過程 $ \mathcal{F}(t,T) $ 本身作為一個 $ \Bbb{Q} $ -martingale（Itô 積分），它與前面提到的終止條件一起給了我們
$$ \mathcal{F}(t,T) = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_t \left[ F(T,T) \right] = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_t \left[ S_T \right] $$