隨機 vol 模型中的獨立性與相關性
我最近在一些基本的東西上有點掙扎：
考慮一個 SV 模型 $$ \begin{align} dS_t &= \sigma_t S_t dW_t \ d\sigma_t &= b(\sigma_t,t) dZ_t \end{align} $$ 和 $ dW_t dZ_t = 0 $ .
我知道零相關並不意味著獨立，事實上 $ S_t $ 顯然不是獨立於 $ \sigma_t $ .
但是，我從上面的 SDE 中看不到如何 $ \sigma_t $ 可以依賴 $ S_t $ ，其實我覺得不會。
但如果 $ \sigma_t $ 獨立於 $ S_t $ ，則局部波動函式 $$ LV(K,T) := E_t [ \sigma^2_T | S_T = K] = E_t [ \sigma^2_T] $$ 不會依賴 $ K $ . 但這意味著沒有意義的平坦局部 vol 函式。
我的推理有什麼問題？
考慮隨機變數 $ S_t $ 和 $ \sigma_t $ . 設它們的邊際累積分佈函式為 $ F_{S,t} $ 和 $ F_{\sigma,t} $ . 如果變數的聯合分佈函式滿足，則稱這些變數是獨立的
$ F_{S,\sigma,t}=F_{S,t}F_{\sigma,t} $ . 獨立性自然是對稱的。直覺地考慮它的最佳方法是，知道一個隨機變數的值不會提供有關另一個變數的資訊。請注意，隨機變數之間的依賴關係可能在任何意義上都不是因果關係。
不指定 $ b $ 在您的範例中，很難正式證明獨立/依賴。然而，當 $ \sigma_t $ 是持久的（自相關的），因為 $ S_t=S_0+\int_0^{t}\sigma_sS_sdW_s $ 你會期望高值 $ \sigma_t $ 增加分散度 $ S_t $ ，即觀察極值 $ S_t $ 更傾向於。或者，高價值 $ \sigma_t $ 更有可能 $ S_t $ 在尾部取值。因此，您不會期望這兩個過程通常是獨立的。