SVJJ（帶跳躍的赫斯頓）模型中的已實現變異數
我正在使用隨機波動率模型，價格和波動率動態都有跳躍，即。風險中性動態具有以下形式：
$$ \mathrm{d}V_t = \kappa(\theta - V_t)\mathrm{d}t + \sigma \sqrt{V_t} \mathrm{d}B_t^v + J^v \mathrm{d} N_t \ \mathrm{d}S_t = (r_t-d_t-\lambda m^j)S_t\mathrm{d}t + \sqrt{V_t} S\mathrm{d}B_t^s + (e^{J^s}-1)S_t \mathrm{d}N_t, $$ 在哪裡 $ \text{Corr}(B_t^v,B_t^s) = \rho $ , 跳躍分佈為 $ J^v\sim \exp(\mu_v) $ 和 $ J^s \sim \mathcal{N}(\mu_s,\sigma^2) $ . 我已經將模型校準為帶有 SPX 上的歐洲看漲期權和看跌期權的數據集，現在我想推導出年化實現變異數的期望值的封閉形式表達式，即 $ \mathbb{E}[1/T \int_0^Tv_t \mathrm{d}t] $ .
我的第一個想法很簡單，它等於校準值 $ V_0 $ 但這是基於積分的鞅假設，我不確定它是否正確。如果它不是鞅，我將如何計算期望？如果它確實是鞅，我將如何證明它？
嘗試
$$ \mathbb{E}\frac{1}{T} \int_0^T V_t dt = \frac{1}{T} \int_0^T \mathbb{E} V_t dt $$並使用 $$ \frac{1}{dt}\mathbb{E} V_t = \kappa\theta - \kappa \mathbb{E}V_t + (\lambda_0 + \lambda_1\mathbb{E} V_t)\mu_V, $$ 這實際上是一個簡單的 ODE。
暗示
應用伊藤引理，我們有
$$ d(e^{kt}v_t)=\kappa e^{\kappa t}v_t,dt+e^{\kappa t}dv_t+d(e^{\kappa t})dv_t $$ 所以 $$ v_t=v_0e^{-\kappa t}+\theta(1-e^{-\kappa t})+\sigma\int_{0}^{t}\sqrt{v_s}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v}+\int_{0}^{t}e^{-\kappa(t-s)}J^v,dN_{s} $$ $ J_v $ 是在時間發生的隨機跳躍大小 $ t_i $ 和 $ N_t=N_t-N_0 $ 是時間間隔內的總跳躍次數 $ (0,t] $ ， 所以 $$ v_t=v_0e^{-\kappa t}+\theta(1-e^{-\kappa t})+\sigma\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v}+\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{-\kappa(t-t_i)}J_{i}^{v} $$ $$ \int_{0}^{T}v_tdt=\frac{v_0}{\kappa}\left(1-e^{-\kappa T}\right)+\frac{\theta}{\kappa}\left(-1+\kappa T+e^{-\kappa T}\right)+\frac{1}{\kappa}\left(1-e^{-\kappa T}\right)\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\ \qquad,,,+\sigma\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v} dt $$ 和 $$ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}v_tdt=\frac{v_0}{\kappa T}\left(1-e^{-\kappa T}\right)+\frac{\theta}{\kappa T}\left(-1+\kappa T+e^{-\kappa T}\right)+\frac{1}{\kappa T}\left(1-e^{-\kappa T}\right)\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\ \qquad,,,+\frac{\sigma}{T}\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v} dt $$ 現在你應該計算 $$ \mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\right] $$