模擬粗糙的赫斯頓
我在這裡找到了這篇論文https://arxiv.org/abs/1810.04868，“The Lifted Heston”，但由於我不是隨機 volterra 過程的專家，也不是分數 ricatti 方程的專家，所以數學超出了我的範圍。如果有人可以逐步向我解釋模擬論文中描述的路徑的過程（我知道這是一個近似值），或者更好的是，分享一個 repo，我將不勝感激。
粗赫斯頓過程是一個赫斯頓過程，其變異數過程過程已被分數平方根擴散所取代 $$ \begin{equation} d S_t = S_t \sqrt{V_t} d B_t \end{equation} $$ $$ \begin{equation} V_t = V_0 + \frac{\int_0^t (t - s)^{H - \frac{1}{2}} \lambda (\theta
- V_s) d s + \int_0^t (t - s)^{H - \frac{1}{2}} v \sqrt{V_s} d W_{} }{\Gamma \left( H + \frac{1}{2} \right)} \end{equation} $$
提升赫斯頓模型是傳統隨機波動率模型的有限線性組合 $ n $ 驅動隨機微分方程系統給出的變異數過程的因素 $$ \begin{equation} d S_t^n = S_t^n \sqrt{V_t^n} d B_t \end{equation} $$ $$ \begin{equation} V_t^n = g_0^n (t) + \sum_{i = 1}^n c_i^n U_t^{n, i} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} d U_t^{n, i} = (- x_i^n U_t^{n, i} - \lambda V_t^n) d t + v \sqrt{V_t^n} d W_t \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} S_0^n > 0 \end{equation} $$ $$ \begin{equation} U_0^{n, j} = 0 \forall 1 \ldots n \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} B = \rho W + \sqrt{1 - \rho^2} W^{\perp} \end{equation} $$ 這樣 $$ \begin{equation} (W, W^{\perp}) \end{equation} $$ 是具有相關性的固定濾波機率空間上的標準二維維納過程 $ \rho \in [- 1, + 1] $ 和參數 $ g_0^n, \lambda, \nu \in \mathbb{R}_+, c_i^n, x_i^n \geqslant 0 $ . 權重 $ x_i^n $ 和 $ c_i^n $ 是函式 $ \alpha = H + \frac{1}{2} \forall i \in 1 \ldots n $ 由 $$ \begin{equation} x_i^n = \left( \frac{1 - \alpha}{2 - \alpha} \right) \left( \frac{r_n^{2 - \alpha} - 1}{r_n^{1 - \alpha} - 1} \right) r_n^{i - 1 - \frac{n}{2}} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} c_i^n = \frac{(r_n^{1 - \alpha} - 1) r_n^{(\alpha - 1) \left( 1 + \frac{n}{2} \right)}}{\Gamma (\alpha) \Gamma (2 - \alpha)} \end{equation} $$ 在哪裡 $$ \begin{equation} r_n = 1 + \frac{10}{n^{0.9}} \forall n \geqslant 1 \end{equation} $$