關於伊藤的問題
如果我們知道動態 $ S $ ，那麼我們可以估計 $ S $ 在某個時間點， $ t $ . 在這裡，我有一個關於如何解決的問題 $ S_t $ 由Itô，因為我通過不同的方法獲得了不同的結果。
對於幾何布朗運動：
$$ dS_t=S_t μ dt+S_t σdW_t, $$ $$ \frac{dS_t}{S_t} =μ dt+σdW_t, $$ 而且，事實上我們有， $$ \frac{dS_t}{S_t} =d\ln(S_t). $$ 如果我們使 $ Z=d\ln(S_t) $ ， 然後， $$ dZ=\frac{\partial Z}{\partial t} dt+\frac{\partial Z}{\partial S_t} dS_t+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 Z}{\partial S_t^2} (dS_t)^2=(μ-\frac{1}{2} σ^2 )dt+σdW_t, $$ $$ Z_t= Z_0+\left(μ- \frac{σ^2}{2} \right) \int_0^tds+σ\int_0^tdW_s, $$ $$ \ln(S_t )=\ln(S_0 )+(μ-\frac{1}{2} σ^2 )dt+σW_t, $$ $$ S_t=S_0 \cdot e^\left((μ- \frac{1}{2} σ^2 )dt+σW_t \right). $$ 但是，如果我使用另一種方法，那麼我會得到不同的結果。既然我們有 $ \frac{dS_t}{S_t} =d\ln(S_t) $ 然後，
$$ d\ln(S_t )=μdt+σdW_t $$ 和 $$ \begin{align} \ln(S_t)&=\ln(S_0)+μ\int_0^tds+σ\int_0^t dW_s \ &=\ln(S_0)+μt + σW_t, \end{align} $$ $$ S_t=S_0 \cdot e^{(μt+σW_t)} $$ 我認為這兩種方法都是正確的。但為什麼結果不同呢？
你說的那部分
$$ \frac{dS_t}{S_t} = d\ln(S_t) $$ 錯了，因為 $ S $ 是一個隨機變數。
這正是 Itô 用他的公式告訴你的，你正確地應用了計算你的 $ dZ $ .
差異來自過程的二次變分 $ S $ 你表達為 $ (dS)^2 $ . 如果您在變數是隨機變數時不添加此項，則您的推導是錯誤的。
你是對的，這兩種方法在某種程度上都是正確的（但我認為你在寫出所有內容時有些混亂，正如@SRKX 指出的那樣）……但是在隨機微積分的不同公式下。您的第二個答案是Stratonovich SDE 的解決方案：
$$ \text{d}S_t = \mu S_t \text{d}t + \sigma S_t \circ \text{d}W_t, $$ 在 Stratonovich 解釋下，通用微積分鍊式法則適用，因此您不需要Itô 公式/引理的形式，即 Itô 隨機微積分的鍊式法則。這些鍊式規則用於消除狀態依賴（在你的情況下，依賴於 $ S_t $ ) 來自對應於 SDE 的隨機積分，從而可以求解它們。