隨機微分方程
考慮以下隨機微分方程 (SDE)
$$ d X_s= \mu (X_s + b)ds + \sigma X_s d w_s $$
其中常數 $ \mu, \sigma, b > 0 $ 和初始位置 $ X_0 $ 給出。
如果 $ b=0 $ , 那麼上面的方程就是一個幾何布朗運動（GBM）和分佈 $ X_t $ 有時 $ t $ 是對數正態分佈的。如果 $ b>0 $ , 我能說一下關於分佈的事情嗎 $ X_t $ 晚些時候 $ t $ ? 有沒有可能找到機率 $ X_t \in (B, B+1) $ ?
簡化漂移
與所有線性 SDE 一樣，讓 $ Y_t=e^{-\mu t}X_t $ . 然後， $$ \begin{align*} \text{d}Y_t &=-\mu e^{-\mu t}X_t\text{d}t+e^{-\mu t}\text{d}X_t \ &=\mu b e^{-\mu t}\text{d}t+\sigma Y_t\text{d}W_t. \end{align*} $$
產品規則
考慮幾何布朗運動 $ Z_t $ 和 $ \text{d}Z_t=\sigma^2Z_t\text{d}t-\sigma Z_t\text{d} W_t $ 和 $ Z_0=1 $ 這樣 $ Z_t=\exp\left(\frac{1}{2}\sigma^2 t-\sigma W_t\right) $ .
然後， $$ \begin{align*} \text{d}Y_tZ_t&= Y_t\text{d}Z_t+Z_t\text{d}Y_t+\text{d}Y_t\text{d}Z_t \ &=\sigma^2Y_tZ_t\text{d}t-\sigma Y_tZ_t\text{d} W_t+\mu b e^{-\mu t}Z_t\text{d}t+\sigma Y_tZ_t\text{d}W_t-\sigma^2Y_tZ_t\text{d}t \ &=\mu b e^{-\mu t}Z_t\text{d}t. \end{align*} $$ 因此， $$ \begin{align*} Y_tZ_t-Y_0Z_0=\mu b\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} X_t&=X_0e^{\mu t}Z_t^{-1}+\mu be^{\mu t}Z_t^{-1}\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s\ &=e^{\mu t}Z_t^{-1}\left(X_0+\mu b\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s\right). \end{align*} $$ 但是，我不認為分配 $ X_t $ ，其中包括一個集成的幾何布朗運動，是已知的？這是為亞洲期權定價的全部鬥爭。
特別案例
我們可以恢復兩種特殊情況：
- 如果 $ \mu=0 $ ，我們得到 $ X_t=X_0\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2 t+\sigma W_t\right) $ .
- 如果 $ b=0 $ ，我們得到 $ X_t=X_0\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma W_t\right) $ .