預測隨機積分∫噸0在噸d在噸∫0噸在噸d在噸int_0^T W_T dW_t
使用 Malliavin 微積分的基本技術，可以證明 $$ \int_0^T W_T dW_t = W_T^2 - T $$ 可以看出，上述積分是非自適應隨機積分。
我們也知道使用 Ito $$ 2 \int_0^T W_t dW_t = W_T^2 - T $$ 自從 $$ dW_t^2 = 2W_t dW_t + (dW_t)^2 $$
問題一：
有沒有一種直接的方式來表明，我的意思是不使用 Malliavin 演算，即只使用更經典的技術， $$ \int_0^T W_T dW_t = 2 \int_0^T W_t dW_t $$ ?
問題 2： 為什麼 $$ \int_0^T W_T dW_t \neq W_T \int_0^T dW_t $$ ? 我無法直覺地理解為什麼你不能只接受 $ W_T $ 出積分。
在上面， $ W_t $ 表示標準布朗運動。
編輯：
有關 Malliavin 演算的更多詳細資訊，請參閱Montero & Kohatsu-Higa，An application of Malliavin calculus to finance。特別是，我使用他們論文中的公式（1）來推導出我上面的第一個表達式，在哪裡遵循我設置的符號 $ F = W_T $ 和 $ u_t = 1 $ .
所以我們正在尋求伊藤積分的解釋，正如我們從下面的評論中知道的那樣，它的定義是在適應過程的意義上。但這還沒有結束，可以將 Ito 擴展到非自適應過程 - 例如，Skorokhod 用正則條件代替自適應，並且可以根據 Riemann 和和步驟過程直覺地理解這個積分。本質上，可以將 Ito 的積分擴展到非自適應過程，這些過程必須滿足一些條件，但不會去那裡！
一個人的答案可能因人使用的解釋而異。這是一種解決方法：
$ \int_0^TW_TdW_t=\int_0^T\int_0^TdW_s,dW_t $
$ =2\int_0^T\int_0^tdW_s,dW_t-\int_0^T{dW_s^2} $
$ ={2\int_0^T\int_0^t{dW_s,dW_t}}-T $
我認為應該等於 $ 2\int_0^TW_t,dW_t+T $ 在伊藤的意義上。另一方面，如果在通過有限和逼近積分時嘗試稍微不同的解釋（想想 $ n \to \infty $ 在分區意義上等）
$ \int_0^TW_TdW_t=\int_0^T\left(W_T-W_t\right)dW_t+\int_0^T W_tdW_t $
$ ={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} - W_{t_{k}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t $
$ ={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} -W_{t_{k}}+W_{t_{k-1}}-W_{t_{k-1}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t $
$ ={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} -\Delta W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t $
$ = W_{t_{n}}\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}} }-\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}}^2} -\sum_{k=1}^n W_{t_{k-1}}\Delta W_{t_{k}}+\int_0^T W_tdW_t $
$ = W_{t_{n}}^2-\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}}^2} $
$ = W_{T}^2-T=2\int_0^TW_t,dW_t $
為了直覺地理解非適應（和適應！）積分，它有助於考慮通過一系列階躍函式來逼近被積函式，然後將每個區間中的過程值乘以布朗增量，並對區間求和。
Q2可以改寫如下，答案應該從上面開始：
$$ \int_0^T\int_0^TdW_s,dW_t \neq \int_0^TdW_s \int_0^TdW_t? $$