當 alpha 變為 1 時的 CVaR/VaR 比率
當 alpha 接近 1 時，我無法將以下 CVaR/VaR 限制用於正態分佈：
$ \lim_{\alpha \to 1} \frac{\mu + \sigma \frac{\phi^{-1}(\alpha)}{1-\alpha}}{\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha)} $
首先我試著拉 $ (1-\alpha) $ 從 CVaR 分母中得到：
$ \lim_{\alpha \to 1} \frac{\mu(1-\alpha) + \sigma {\phi^{-1}(\alpha)}}{(1-\alpha)(\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha))} $
然後我想也許我需要使用 L’Hopital 的規則，但我不知道如何使用嵌入在我的函式中的反法線來做到這一點。我覺得我可能錯過了一些簡單的東西（我的微積分時代離我太遠了）。有關如何計算此限制的任何提示？
非常感謝。
如果損失分佈是正態的，均值 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ ，然後是水平的風險價值和預期短缺（或 CVaR） $ \alpha \in (0, 1) $ 是
$$ \begin{align*} \mbox{VaR}\alpha & = \mu + \sigma \Phi^{-1}(\alpha) , \ \mbox{ES}\alpha & = \mu + \sigma \frac{\phi{\Phi^{-1}(\alpha)}}{1 - \alpha} , \end{align*} $$ 在哪裡 $ \phi $ 表示標準正態分佈的密度函式，並且 $ \Phi $ 其分佈函式。 回想一下密度的導數是 $ \phi’(z) = -z\phi(z) $ . 然後，設置 $ x = \Phi^{-1}(\alpha) $ 並且根據 l’Hopital 的規則，該比率的極限是
$$ \lim_{\alpha \to 1} \frac{\mbox{ES}\alpha}{\mbox{VaR}\alpha} = \lim_{x \to \infty} \frac{\mu {1 - \Phi(x)} + \sigma \phi(x)}{(\mu + \sigma x) {1 - \Phi(x)} } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \sigma \frac{1 - \Phi(x)}{(\mu + \sigma x)\phi(x)}}, $$ 根據 l’Hopital 的規定 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \Phi(x)}{(\mu + \sigma x)\phi(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(\mu + \sigma x)x - \sigma} = 0. $$ 因此， $$ \lim_{\alpha \to 1} \frac{\mbox{ES}\alpha}{\mbox{VaR}\alpha} = 1 . $$
我不知道你嘗試退出時做了什麼 $ 1-\alpha $ ，正確的表達式是
$ \lim_{\alpha \to 1} \frac{\mu(1-\alpha) + \sigma {\phi^{-1}(\alpha)}}{(1-\alpha)(\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha))} $ .
無論如何，您可以嘗試使用替換 $ \Phi^{-1}(\alpha) = x $ , $ x \to \infty $ 和 $ \alpha = \Phi(x) $ . 那麼表達式就變成了
$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\mu + \sigma x/(1-\Phi(x))}{\mu + \sigma x} $
那麼也許你可以從這裡成為 L’Hospitals。雖然它變得有點混亂，但通過一些努力你可能能夠做到。
你有答案嗎？