離散無套利動態 Nelson Siegel 模型中的條件變異數
對於我的論文，我試圖擬合相關因子無套利動態 Nelson Siegel 模型以產生數據。我使用卡爾曼濾波器對此進行建模，但由於模型是連續時間的，我需要離散化條件均值和條件變異數。條件均值並不難，但我無法成功離散化變異數。條件變異數的表達式為：
$$ V[X_t|Y_{t}] = \int_0^{\Delta t} \exp(-K^P s)\Sigma \Sigma’ \exp(-[K^P]’s) ds $$ 在哪裡 $ \Delta t = 1 / 252 $ 和 $$ K^P = \begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \ k_{21} & k_{22} & k_{23} \ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{bmatrix} $$ 和 $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$ 我希望這是提出這個問題的地方，並且你們可以幫助我，在此先感謝！
關於我們的評論，因為 $ \Delta t $ 相當小，數值積分可能適合目的。
根據這篇Wikipedia 文章，提供了三個選項。
表示 $ f(s) $ 被積函式，即：
$$ f(s) = \exp \left( -K^P s\right) \Sigma \Sigma’ \exp \left( - [K^P]’ s\right), $$數量 $ V \left[ X_t | Y_t \right] $ 可以通過以下規則近似（根據複雜性和準確性按升序排列）：
- 矩形規則：
$$ \int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \Delta t f\left( \frac{\Delta t}{2}\right) $$
- 梯形規則：
$$ \int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \Delta t \left( \frac{f(0) + f(\Delta t)}{2}\right) $$
- 分解規則 $ n > 1 $ :
$$ \int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \frac{\Delta t}{n} \left( \frac{f(0)}{2} + \sum_{k=1}^n f\left(k \frac{\Delta t}{n}\right) + \frac{f(\Delta t)}{2}\right) $$