隨機積分分佈
假設 $ f(t) $ 是確定性平方可積函式。我想展示
[Math Processing Error]$$ \int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau}\sim N(0,\int_{0}^{t}|f(\tau)|^{2}d\tau) $$. 我想知道以下方法是否正確和/或是否有更好的方法。
首先請注意
[Math Processing Error]$$ \int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau}=\lim_{n\to\infty}\sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}) $$ 在哪裡 $ \pi_{n} $ 是一個分區序列 $ [0,t] $ 網格變為零。然後 $ \int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau} $ 是正態隨機變數的總和，因此是正態的。所以我們需要做的就是計算均值和變異數。第一： [Math Processing Error]$$ \begin{eqnarray*} E(\lim_{n\to\infty}\sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})) & = & \lim_{n\to\infty}\sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})E(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})\ & = & \lim_{n\to\infty}\sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})\times0\ & = & 0 \end{eqnarray*} $$ 由於維納增量的獨立性。其次： [Math Processing Error]$$ \begin{eqnarray*} var(\int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau}) & = & E((\int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau})^{2})\ & = &E( \int_{0}^{t}f(\tau)^{2}d\tau)=\int_{0}^{t}f(\tau)^{2}d\tau \end{eqnarray*} $$ 通過 Ito 等距。
之前已經討論過類似的問題；請參閱為什麼 Hull White 模型中的短期利率服從正態分佈？.
基本上，正態隨機變數的機率極限還是正常的。那麼，作為
$$ \sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}) $$正常，極限$$ \int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau}, $$ 在機率上，也是正常的，具有您提供的均值和變異數。
自從 $ \mathbb{E}\left[ \int_0^t f(\tau) ; dW_\tau \right] = \int_0^t f(\tau) ; \mathbb{E}\left[dW_\tau \right] = 0 $ , $ \int_0^t f(\tau) ; dW_\tau $ 均值為零。
$ \text{var}\left( \int_0^t f(\tau) ; dW_\tau \right) = \mathbb{E}\left[\left( \int_0^t f(\tau) ; dW_\tau \right)^2 \right]-\mathbb{E}\left[ \int_0^t f(\tau) ; dW_\tau \right] = \int_0^t f(\tau)^2 d\tau $ 使用其他人所說的伊藤等距。