Dupire的證明公式
我只是對證明的開始有一個問題：
認為 $ \frac{dS_{t}}{S_{t}}=(r_{t}-q_{t})dt+\sigma(t,S_{t})dW_{t} $ 和 $ r,q,S $ 隨機。
在我讀的書中，它是這樣寫的：
我們定義 Arrow-Debreu 價格 $ \psi(x’,y’,z’,t) $ 作為有回報的衍生品的現值 $ \delta([S_{t},r_{t},q_{t}]-[x’,y’,z’]) $ 有時 $ t $ . 這與 $ t $ -前向測量機率密度 $ (x,y,z) $ , $ \phi(x,y,z,t) $ 經過：
$$ \psi(x,y,z,t)=B(0,t)\ \phi(x,y,z,t) $$從定義方程可以看出 $ \psi $ 和 $ \phi $ : $ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\iiint V(x,y,z,t)\ \psi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz $ 和 $ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=B(0,t)\ \iiint V(x,y,z,t)\ \phi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz $ 通過這兩個最後的方程式，我明白了為什麼： $ \psi(x,y,z,t)=B(0,t)\ \phi(x,y,z,t) $ . 但我不明白為什麼 $ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\iiint V(x,y,z,t)\ \psi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz $ .
因為對我來說我們有 $ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\mathbb{E}^{Q}[e^{-\int_{0}^{t}r_{s}ds}\ V(S_{t},r_{t},q_{t},t)] $ 那麼折扣期限在哪裡 $ e^{-\int_{0}^{t}r_{s}ds} $ 走了？謝謝
我認為您對以下定義和解釋感到困惑 $ \psi(x,y,z,t) $ 和 $ \phi(x,y,z,t) $ .
- 數量 $ \phi(x,y,z,t) $ 是一個機率密度函式。無窮小，它表示從初始狀態轉換的機率 $ [S_t,r_t,q_t]=[S_0,r_0,q_0] $ 在 $ t=0 $ 到一個狀態 $ [S_t,r_t,q_t]=[x,y,z] $ 在 $ t>0 $ . 像這樣， $ \phi(x,y,z,t) $ 是與 SDE 相關聯的Fokker-Planck 方程（或 Kolmogorov 正向方程）的解 $ S_t, r_t $ 和 $ q_t $ 有初始條件 $ \phi(x,y,z,t=0)=\delta([x,y,z]-[S_0,r_0,q_0]) $ . 由於您似乎熟悉風險中性定價，如果
$$ \phi(x,y,z) = \frac{d\mathbb{Q}\left([S_t, r_t, q_t] \leq [x,y,z]\right)}{d[x,y,z]} $$和 $ \mathbb{Q} $ 代表 $ t $ - 前向措施可以寫成： $$ \begin{align} V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0) &:= \mathbb{E}^\mathbb{Q}_0 \left[ B(0,t) V(S_t, r_t, q_t, t) \right] \ &= \iiint B(0,t) V(S_t,r_t,q_t,t)\phi(S_t,r_t,q_t,t)dS_t dr_t dq_t \end{align} $$
- 數量 $ \psi(x,y,z,t) $ 代表狀態價格，即所謂的Arrow-Debreu 證券的價格 $ 1 $ 時間的貨幣單位 $ t $ 當且僅當世界最終處於特定狀態 $ [S_t,r_t,q_t]=[x,y,z] $ ,
$$ \begin{align} \psi(x,y,z,t) &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ B(0,t) \delta([S_t,r_t,q_t]-[x,y,z]) \right] \ &= \iiint B(0,t) \delta([S_t,r_t,q_t]-[x,y,z]) \phi(S_t, r_t, q_t, t) dS_t dr_t dq_t \ &= B(0,t) \phi(x, y, z) \end{align} $$這意味著你可以反過來寫 $$ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0):=\iiint V(S_t,r_t,q_t,t)\psi(S_t,r_t,q_t,t)dS_t dr_t dq_t $$ 這對應於將您的或有債權定價為已知價格的基本證券的加權總和 $ \psi(S_t,r_t,q_t,t) $ 涵蓋世界上所有未來可能的狀態，更廣為人知的是狀態價格密度。