事件幾乎肯定會發生
考慮一個不可數無限的空間，一個無限的拋硬幣。
讓 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 是機率空間。如果一組 $ A\in\mathcal{F} $ 滿足 $ \mathbb{P(A)=1}, $ 那麼我們說事件 A 幾乎肯定會發生。
我的問題：
- 為什麼在這個不可數的機率空間中，每個單獨的拋硬幣序列的機率為零？在 Shreve 的解釋中，他定義了兩個集合： $$ A_H={\omega\in\Omega_\infty:\omega_1=H}\A_T={\omega\in\Omega_\infty:\omega_1=T}. $$
他設 $ \mathbb{P}(A_H)=p,\mathbb{P}(A_T)=1-p=q. $ 因此，他沒有將機率度量分配給任何單個序列，而是查看一組以 H 或 T 開始的序列。與我們在有限樣本中處理拋硬幣的方式相比，為什麼這種設置更有意義空間。通常，當我們處理兩個硬幣時，我們會假設硬幣是公平的，所以 $ P(H)=\frac{1}{2} $ . 然而，在不可數無限的擲硬幣實驗中，任何單個無限序列都可以測量 $ 0 $ 而具有某些特徵的序列集（例如第一次翻轉 $ H $ ) 得到嚴格的正機率。
- 究竟是做什麼的 $ \mathbb{P}(A)=1 $ 幾乎肯定是什麼意思？根據什里夫的說法：
“每當一個事件被認為是幾乎可以確定的，我們的意思是它的機率為 1，即使它可能不包括所有可能的結果。不包括在內的結果或一組結果，總的來說，機率為零。”
這是否意味著拋硬幣至少得到一條尾巴的事件一定會發生？相反，當我們說 $ \mathbb{P}({\omega\in\Omega_\infty:(\omega_i)_i=H\space\forall\space i\in\mathbb{N}}=0, $ 這是否意味著不可能發生機率為零的事情，因此不可能獲得所有正面的無限拋硬幣序列？
參考：
Shreve, Steven E. $ \textit{Stochastic Calculus for Finance II : Continuous-Time Models} $ . 斯普林格，2008。
考慮序列 $ n $ 翻轉 $ p= \frac 12 $ 為簡單起見。僅基於第一次翻轉定義的集合顯然將空間分成兩半，因此每個都有正機率 ( $ \frac 12 $ ) 無論如何 $ n $ 是。但考慮由see 定義的結果A（單例集） $ n $ 頭。如果 $ n=2 $ , $ P(A)=.25 $ . 更普遍， $ P(A)=0.5^n $ ，它變為零 $ n $ 走向無窮大。雖然這不是一個證明，而且無窮大在數學上可能很棘手，但在這種情況下，直覺給出了極限的正確結果：由所有正面組成的無限序列的機率為零，同樣對於您想要指定的任何一個無限序列.
不要混淆 $ P(A)=1 $ 確定無疑”; 確定性在這裡並不是一個真正有用的概念，除非您可能想將其應用於所有可能結果的集合。我想這很容易證明每一個至少包含一個頭部的一組結果的機率是一個，但我會遠離“確定性”這個詞。同樣，說一個事件“不可能發生”或“不可能”是錯誤的（或者在機率上可能沒有明確定義）。