外匯遠期的“預期”
我有一個外匯流程 $ X_t = X_0 \exp((r_d-r_f)t+ \sigma W_t) $ . 現在很清楚 $ E[X_t] = F_{0,t}^X $ . 即過程的遠期合約 $ X $ 從時間 0 開始，在時間成熟 $ t $ .
如果我想在以後查看遠期合約怎麼辦。IE $ F_{a,b}^X $ . 在哪裡 $ 0 < a<b<t $ . 我如何能夠根據目前時間重寫它？肯定不是價值 $ F_{0,b}^X - F_{0,a}^X $ . 換句話說，我如何確定 $ E[F_{a,b}^X] $
$$ Question 1 $$
讓我們定義
$$ \begin{align} X_t &= X_0 \exp((r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t) \ &= X_0 \exp((r_d-r_f)t) \mathcal{E}(\sigma W_t) \end{align} $$ 那麼，在那種情況下 $$ E(X_t \vert \mathcal{F}_0) = X_0 \exp((r_d-r_f)t) = F^X(0,t) $$ 只是因為$$ \mathcal{E}(\sigma W_t) $$是一個隨機指數（均值為 1 的嚴格正鞅）。 然而 $ E(X_t \vert \mathcal{F}_0) \ne F^X(0,t) $ 為了 $ X_t = X_0 \exp((r_d-r_f)t + \sigma W_t) $ 正如您在問題中定義的那樣。
$$ Question 2 $$
在國內風險中性措施下，FOR/DOM（以本國貨幣表示的 1 單位外幣）匯率的動態 $ X_t $ 應該寫（以排除套利機會）
$$ \frac{dX_t}{X_t} = (r_d - r_f)dt + \sigma W_t $$ 將 Itô 應用於函式 $ f(t,X_t)=\ln(X_t) $ 給 $$ d\ln(X_t) = (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma W_t $$ 哪一個可以輕鬆集成，例如 $ t_1 $ 至 $ t_2 $ （假設 $ 0 < t_1 < t_2 < T $ ) 獲得 $$ \ln(X_{t_2}) - \ln(X_{t_1}) = (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)(t_2-t_1) + \sigma (W_{t_2}-W_{t_1}) $$ 或等效地 $$ X_{t_2} = X_{t_1} \exp \left( (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)(t_2-t_1) + \sigma (W_{t_2}-W_{t_1}) \right) $$ 從上面看，遠期 FOR/DOM 匯率為 $ t_1 $ 成熟的 $ t_2 $ 計算為
$$ \begin{align} F^X(t_1,t_2) &= E\left[ X_{t_2} \vert \mathcal{F}{t_1} \right] \ &= X{t_1} \exp \left( (r_d - r_f)(t_2 - t_1) \right) \end{align} $$
$$ Edit $$
$$ \begin{align} E_0 \left[ F^X(t_1,t_2) \right] &= E_0 \left[ X_{t_1} \exp \left( (r_d - r_f)(t_2 - t_1) \right) \right] \ &= E_0 \left[ X_{t_1} \right] \exp \left( (r_d - r_f)(t_2 - t_1) \right) \ &= F(0,t_1) \exp \left( (r_d - r_f)(t_2 - t_1) \right) \ &= X_0 \exp \left( (r_d - r_f) t_1 \right) \exp \left( (r_d - r_f)(t_2 - t_1) \right) \ &= F(0,t_2) \end{align} $$ 這是正常的，因為
$$ E [ X_{t_2} \vert \mathcal{F}0 ] = F(0,t_2) = E[ E[ X{t_2} \vert \mathcal{F}_{t_1}] \vert \mathcal{F}_0] $$ 由塔整體屬性。