均值回歸跳躍過程的期望值
我看不到我的計算方法與 Cartea 和 Jaimungal（算法和高頻交易，第 220 頁）一書中所做的方法之間的聯繫。我們有一個均值回歸過程 $$ d\mu_t=-k\mu_tdt+\eta_{1+N_{t^-}}dN_t $$有解決方案 $$ \begin{align}\mu_t&=e^{-kt}\mu_0+\int^t_0e^{-k(t-u)}\eta_{1+N_{u^-}}dN_u \&=e^{-kt}\mu_0+\sum_{m=1}^{N_t} e^{-k(t-\tau_m)}\eta_m. \end{align} $$在哪裡 $ N_t $ 是一個有強度的Poisson過程 $ \lambda $ 和 $ \eta_i $ 是 iid 並且獨立於 $ N_t $ , $ k>0 $ 和 $ \tau_m $ 表示Poisson到達時間。
現在他們通過積分計算期望值來實現 $$ \mathbb{E}[\mu_t]=e^{-kt}\mu_0+\frac{\lambda}{k}\mathbb{E}\eta_1. $$
我嘗試通過不太有效的求和定義來做同樣的事情。
到達時間為 Gamma( $ m,\lambda $ ) 分佈和 Gamma rv 的 MGF $ X $ 給 $ \mathbb{E}[e^{kX}]=(\frac{\lambda}{\lambda-k})^m $ .
因此， $$ \begin{align} e^{kt}\mathbb{E}[\mu_t] -\mu_0 &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} e^{k\tau_m}\eta_m\bigg]\ &= \mathbb{E}\bigg[\mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} e^{k\tau_m}\eta_m\bigg]|N_t\bigg]\ &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\Big[e^{k\tau_m}\Big]\mathbb{E}\Big[\eta_m\Big]|N_t\bigg]\ &= \mathbb{E}\Big[\eta_1\Big] \cdot \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\Big[e^{k\tau_m}\Big]|N_t\bigg] \end{align} $$
現在，如果我將伽瑪函式的 MGF 的結果代入其中併計算出幾何和，我發現我沒有得到正確的答案。我確信幾何求和和 MGF 步驟是正確的，之後的最後一步是計算Poisson過程的無條件期望，但我相信這裡一定有錯誤，因為其他步驟看起來很好。
為了完整性，幾何和變為$$ \frac{\lambda}{k}\bigg(1-\Big(\frac{\lambda}{\lambda-k}\Big)^{N_t}\bigg) $$所以Poisson過程中的項不能很好地匹配。奇怪的是，如果這個產品是 $ \frac{\lambda}{k}\bigg(1-\Big(\frac{\lambda}{\lambda+k}\Big)^{-N_t}\bigg) $ 我認為它有效，但我找不到任何理由來支持它的來源。對此的任何幫助都會很棒。
首先，我們需要注意將條件放在正確的位置：
$$ \begin{align} e^{kt}\mathbb{E}[\mu_t] -\mu_0 &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} e^{k\tau_m}\eta_m\bigg]\ &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\bigg[e^{k\tau_m}\eta_m|N_t\bigg]\bigg]\ &=\mathbb{E}\Big[\eta_1\Big] \cdot \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\Big[e^{k\tau_m}|N_t\Big]\bigg]. \end{align} $$ 現在的分佈 $ \tau_m $ 給定 $ N_t $ 不是 Gamma，而是均勻的 $ 0 $ 和 $ t $ . 它不可能是 Gamma，因為這將有一個有限的機率 $ \tau_m>t $ . 正因為如此，並且注意到之間的均勻隨機變數的 MGF $ 0 $ 和 $ t $ 是 $ \frac{e^{kt}-1}{kt} $ ，我們得到了想要的結果。