金融數學 - Martingales 範例
希望有人可以幫助我解決以下問題。
證明在風險中性機率下 $ \tilde{\mathsf P} $ 股票和銀行賬戶的平均增長率相同。換句話說，如果 $ S_0 $ 和 $ S_N $ 是初始和最終股票價格，並且 $ B_0 $ 和 $ B_N $ 初始和最終銀行價格表明：
$$ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]=\tilde{\mathsf E}\left[\frac{B_N}{B_0}\right]=c $$ 並找到常數 c。 我有以下內容：
我知道銀行賬戶的風險中性（或非風險中性）期望只是 $ B_N/B_0 $ ，因為任何銀行相關投資的預期都將與括號中的任何內容相同（銀行沒有不確定性）。
還有，我知道 $ B_N=B_0(1+r)^N $ ( $ B_N $ 等於初始投資乘以利率的冪 $ N $ )，所以我可以簡化
$$ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{B_N}{B_0}\right]= B_N/B_0 = \frac{B_0(1+r)^N}{B_0}=(1+r)^N. $$ 我的問題是試圖證明股票就是這種情況 $ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right] = (1+r)^N. $ 由於股票是鞅，我知道我可以這樣說：
$$ S_0/(1+r)^0 = \text{(by multi step ahead property)} = \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]. $$但我不知道在此之後該怎麼做。我在網上找到了一種方法，說明這意味著： $ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]=(1+r)^N $ ，但我看不出前面的陳述是如何暗示這一點的。 非常感謝任何幫助。
使用風險中性定價的經典論點是假設貼現的股票價格是 $ \tilde{P} $ - 鞅 $ \tilde{P} $ 是風險中性機率測度。
然後，你知道
$$ \frac{S_t}{(1+r)^t}=\tilde{E}[\frac{S_T}{(1+r)^T} | \mathcal{F}_t] $$ 根據鞅過程的定義。
由於折扣是非隨機的，您可以放心地將其從預期中移除，並且 $ S_t $ 是 $ \mathcal{F_t} $ - 可測量，您也可以將其自由包含在期望中。
然後你得到
$$ (1+r)^{T-t}=\tilde{E}[\frac{S_T}{S_t} | \mathcal{F}_t] $$ 使用您的設置 $ T=N $ 和 $ t=0 $ 你得到
$$ (1+r)^{N}=\tilde{E}[\frac{S_N}{S_0} | \mathcal{F}_0]=\tilde{E}[\frac{S_N}{S_0}] $$
$$ \widetilde{E}[\frac{S_{N}}{S_{0}}]=\widetilde{E}[\frac{S_{N}}{S_{N-1}}\frac{S_{N-1}}{S_{N-2}}…\frac{S_{1}}{S_{0}}]=\widetilde{E}[\frac{S_{N}}{S_{N-1}}]\widetilde{E}[\frac{S_{N-1}}{S_{N-2}}]…\widetilde{E}[\frac{S_{1}}{S_{0}}]=(1+r)(1+r)…(1+r)=(1+r)^{N} $$